Descreva matematicamente esta onda na forma auxiliar complexa nas seguintes condições: Onda elipticamente polarizada para a direita e o eixo maior da elipse encontra-se na direção y
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos descrever matematicamente uma onda elipticamente polarizada para a direita, onde o eixo maior da elipse está na direção y. Para resolver isso, vamos utilizar a representação auxiliar complexa, que é uma forma eficiente de representar ondas eletromagnéticas. Precisamos entender conceitos de polarização elíptica e como representá-la matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma onda polarizada elipticamente pode ser representada por duas componentes de campo elétrico, uma na direção x e outra na direção y, que vibram perpendicularmente entre si. A polarização para a direita indica que, ao observar a onda na direção de propagação, a componente y está defasada em relação à componente x de forma que a energia da onda gira no sentido horário.
Passo 3
Como o eixo maior da elipse está na direção y, isso significa que a amplitude da componente y é maior que a da componente x. Podemos representar as componentes do campo elétrico em função do tempo usando números complexos. Vamos chamar a componente na direção y de
e a componente na direção x de
.
Passo 4
A representação auxiliar complexa para cada componente pode ser escrita como:
Aqui,
e
são as amplitudes das componentes x e y,
é a frequência angular da onda, e
é a defasagem entre as duas componentes.
Passo 5
Como a onda é polarizada para a direita, a componente y está defasada em -90 graus (ou
radianos) em relação à componente x. Além disso, como o eixo maior está na direção y, temos que
. Portanto,
.
Passo 6
Substituindo a defasagem na equação da componente y, temos:
Podemos simplificar isso usando a identidade de Euler:
Portanto:
Passo 7
Agora, podemos escrever a representação auxiliar complexa completa da onda como um vetor:
Fatorando
, temos:
Resposta
A representação auxiliar complexa da onda elipticamente polarizada para a direita, com o eixo maior na direção y, é dada por:
onde
e
são as amplitudes das componentes x e y, respectivamente, e
é a frequência angular da onda.
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