Descreva matematicamente esta onda na forma auxiliar complexa nas seguintes condições: Onda elipticamente polarizada para a direita e o eixo maior da elipse encontra-se na direção y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos descrever matematicamente uma onda elipticamente polarizada para a direita, onde o eixo maior da elipse está na direção y. Para resolver isso, vamos utilizar a representação auxiliar complexa, que é uma forma eficiente de representar ondas eletromagnéticas. Precisamos entender conceitos de polarização elíptica e como representá-la matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma onda polarizada elipticamente pode ser representada por duas componentes de campo elétrico, uma na direção x e outra na direção y, que vibram perpendicularmente entre si. A polarização para a direita indica que, ao observar a onda na direção de propagação, a componente y está defasada em relação à componente x de forma que a energia da onda gira no sentido horário.

Passo 3

Como o eixo maior da elipse está na direção y, isso significa que a amplitude da componente y é maior que a da componente x. Podemos representar as componentes do campo elétrico em função do tempo usando números complexos. Vamos chamar a componente na direção y de e a componente na direção x de .

Passo 4

A representação auxiliar complexa para cada componente pode ser escrita como:
Ex(t) = Ex0 e^j(omega t)
Ey(t) = Ey0 e^j(omega t + de
Aqui, e são as amplitudes das componentes x e y, é a frequência angular da onda, e é a defasagem entre as duas componentes.

Passo 5

Como a onda é polarizada para a direita, a componente y está defasada em -90 graus (ou radianos) em relação à componente x. Além disso, como o eixo maior está na direção y, temos que . Portanto, .

Passo 6

Substituindo a defasagem na equação da componente y, temos:
Ey(t) = Ey0 e^j(omega t - pi2)
Podemos simplificar isso usando a identidade de Euler:
e^j(omega t - pi2) = e^jomega t e^-jpi2 = e^jomega t (cos(-pi2) + jsin(-pi2)) = e^jomega t (-j)
Portanto:
Ey(t) = -j Ey0 e^jomega t

Passo 7

Agora, podemos escrever a representação auxiliar complexa completa da onda como um vetor:
E(t) = Ex(t) x + Ey(t) y = Ex0 e^jomega t x - j Ey0 e^jomega t y
Fatorando E(t) = e^jomega t ( Ex0 x - j Ey0 y ) , temos:

Resposta

A representação auxiliar complexa da onda elipticamente polarizada para a direita, com o eixo maior na direção y, é dada por:
E(t) = e^jomega t ( Ex0 x - j Ey0 y )
onde e são as amplitudes das componentes x e y, respectivamente, e é a frequência angular da onda.

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