Uma proposta de pesquisadores holandeses é utilizar pequenas naves espaciais equipadas com velas muito finas que refletem quase completamente a radiação eletromagnética. Considere uma dessas naves de massa m com uma vela de 5 m quadrados de área. Um laser de comprimento de onda 850nm incide sobre esa vela. Qual deve ser a amplitude BO do campo magnético deste laser para acelerar a nave até
da velocidade da luz ao fim de um ano?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial com uma vela de 5 metros quadrados que reflete quase toda a radiação eletromagnética de um laser com comprimento de onda de 850 nm. A pergunta é: qual deve ser a amplitude
do campo magnético desse laser para que a nave atinja 60% da velocidade da luz em um ano?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão de radiação, força sobre a vela, aceleração da nave e as relações entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade final que a nave precisa atingir. Sabemos que queremos chegar a 60% da velocidade da luz (
) em um ano. A velocidade da luz é aproximadamente
m/s, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração necessária para atingir essa velocidade em um ano. Primeiro, precisamos saber quantos segundos há em um ano:
A aceleração
pode ser calculada usando a fórmula da aceleração média:
Passo 4
Agora, vamos associar essa aceleração à força necessária para movê-la. A segunda lei de Newton nos diz que:
Onde:
-
é a massa da nave. -
é a aceleração que acabamos de calcular.
Passo 5
A força
que atua sobre a vela é devida à pressão da radiação do laser. Para uma vela que reflete completamente a radiação, a pressão de radiação
é dada por:
Onde:
-
é a intensidade do laser. -
é a velocidade da luz.
A força total sobre a vela será:
Onde
é a área da vela, que é 5 m².
Passo 6
Igualando as duas expressões para a força:
Vamos reorganizar para encontrar a intensidade
:
Passo 7
Agora que temos a intensidade, precisamos relacioná-la ao campo magnético
. Em uma onda eletromagnética, a intensidade é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ). -
é a amplitude do campo elétrico.
Sabemos que
e
estão relacionados pela equação:
Substituindo isso na expressão da intensidade:
Passo 8
Vamos agora igualar as duas expressões para
:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores conhecidos na equação para calcular
:
Simplificando os termos:
Resposta
A amplitude do campo magnético
necessário para acelerar a nave a 60% da velocidade da luz em um ano é aproximadamente:
Onde
é a massa da nave em quilogramas.
Exercícios relacionados
Descreva matematicamente esta onda na forma auxiliar complexa nas seguintes condições: Onda linearmente polarizada. A direção de polarização faz
com a direção x. E amplitude EO
Duas cargas
, iguais e positivas, são posicionadas sobre o eixo
, uma em
e a outra em
. (a) Mostre que o campo elétrico no eixo
é orientado ao longo desse eixo e possui uma intensidade
(b) Mostre que nas vizinhanças da origem, quando
,
é aproximadamente igual a
. © Mostre que para valores de
muito maiores do que
é aproximadamente igual a
. Explique por que esse resultado seria esperado antes mesmo de ser calculado. (d) Mostre que o campo elétrico para essa distribuição de carga possui sua maior intensidade nos pontos cujas coordenadas são
, calculando a derivada
e igualando-a a zero.
Descreva matematicamente esta onda na forma auxiliar complexa nas seguintes condições: Onda elipticamente polarizada para a direita e o eixo maior da elipse encontra-se na direção y
Descreva matematicamente esta onda na forma auxiliar complexa nas seguintes condições: Onda circularmente polarizada para a esquerda com amplitude EO