Uma proposta de pesquisadores holandeses é utilizar pequenas naves espaciais equipadas com velas muito finas que refletem quase completamente a radiação eletromagnética. Considere uma dessas naves de massa m com uma vela de 5 m quadrados de área. Um laser de comprimento de onda 850nm incide sobre esa vela. Qual deve ser a amplitude BO do campo magnético deste laser para acelerar a nave até da velocidade da luz ao fim de um ano?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial com uma vela de 5 metros quadrados que reflete quase toda a radiação eletromagnética de um laser com comprimento de onda de 850 nm. A pergunta é: qual deve ser a amplitude do campo magnético desse laser para que a nave atinja 60% da velocidade da luz em um ano?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão de radiação, força sobre a vela, aceleração da nave e as relações entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade final que a nave precisa atingir. Sabemos que queremos chegar a 60% da velocidade da luz ( ) em um ano. A velocidade da luz é aproximadamente m/s, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração necessária para atingir essa velocidade em um ano. Primeiro, precisamos saber quantos segundos há em um ano:
A aceleração pode ser calculada usando a fórmula da aceleração média:

Passo 4

Agora, vamos associar essa aceleração à força necessária para movê-la. A segunda lei de Newton nos diz que:
Onde:
  • é a massa da nave.
  • é a aceleração que acabamos de calcular.

Passo 5

A força que atua sobre a vela é devida à pressão da radiação do laser. Para uma vela que reflete completamente a radiação, a pressão de radiação é dada por:
Onde:
  • é a intensidade do laser.
  • é a velocidade da luz.
A força total sobre a vela será:
Onde é a área da vela, que é 5 m².

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força:
Vamos reorganizar para encontrar a intensidade :

Passo 7

Agora que temos a intensidade, precisamos relacioná-la ao campo magnético . Em uma onda eletromagnética, a intensidade é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo ( ).
  • é a amplitude do campo elétrico.
Sabemos que e estão relacionados pela equação:
Substituindo isso na expressão da intensidade:

Passo 8

Vamos agora igualar as duas expressões para :
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por :
Resolvendo para :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores conhecidos na equação para calcular :
Simplificando os termos:

Resposta

A amplitude do campo magnético necessário para acelerar a nave a 60% da velocidade da luz em um ano é aproximadamente:
Onde é a massa da nave em quilogramas.

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