Uma proposta de pesquisadores holandeses é utilizar pequenas naves espaciais equipadas com velas muito finas que refletem quase completamente a radiação eletromagnética. Considere uma dessas naves de massa m com uma vela de 5 m quadrados de área. Um laser de comprimento de onda 850nm incide sobre esa vela. Qual deve ser a amplitude BO do campo magnético deste laser para acelerar a nave até 60 % da velocidade da luz ao fim de um ano?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial com uma vela de 5 metros quadrados que reflete quase toda a radiação eletromagnética de um laser com comprimento de onda de 850 nm. A pergunta é: qual deve ser a amplitude do campo magnético desse laser para que a nave atinja 60% da velocidade da luz em um ano?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão de radiação, força sobre a vela, aceleração da nave e as relações entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade final que a nave precisa atingir. Sabemos que queremos chegar a 60% da velocidade da luz ( v = 0,6 times c = 0,6 times 3 times 10^8 = 1,8 times 10^8 m/s ) em um ano. A velocidade da luz é aproximadamente m/s, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração necessária para atingir essa velocidade em um ano. Primeiro, precisamos saber quantos segundos há em um ano:
1 ano = 365 times 24 times 3600 approx 3,15 times 10^7 s
A aceleração a = De pode ser calculada usando a fórmula da aceleração média:

Passo 4

Agora, vamos associar essa aceleração à força necessária para movê-la. A segunda lei de Newton nos diz que:
F = m times a
Onde:
  • é a massa da nave.
  • é a aceleração que acabamos de calcular.

Passo 5

A força P = 2Ic que atua sobre a vela é devida à pressão da radiação do laser. Para uma vela que reflete completamente a radiação, a pressão de radiação F = P times A = 2Ic times A é dada por:
Onde:
  • é a intensidade do laser.
  • é a velocidade da luz.
A força total sobre a vela será:
Onde é a área da vela, que é 5 m².

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força:
m times a = 2I times Ac
Vamos reorganizar para encontrar a intensidade I = m times a times c2 times A :

Passo 7

Agora que temos a intensidade, precisamos relacioná-la ao campo magnético I = 12 times c times epsilon0 times EO^2 . Em uma onda eletromagnética, a intensidade é dada por:
EO = c times BO
Onde:
  • I = 12 times c times epsilon0 times (c times BO)^2 = 12 times c^3 times epsilon0 times BO^2 é a permissividade do vácuo ( ).
  • é a amplitude do campo elétrico.
Sabemos que e estão relacionados pela equação:
Substituindo isso na expressão da intensidade:

Passo 8

Vamos agora igualar as duas expressões para m times a times c2 times A = 12 times c^3 times epsilon0 times BO^2 :
m times a times cA = c^3 times epsilon0 times BO^2
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por BO^2 = m times aA times c^2 times epsilon0 :
BO = raizm times aA times c^2 times epsilon0
Resolvendo para :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores conhecidos na equação para calcular BO = raizm times 5,71 m/s^25 m^2 times (3 times 10^8 m/s)^2 times 8,85 times 10^-12 F/m :
BO = raizm times 5,715 times 9 times 10^16 times 8,85 times 10^-12
Simplificando os termos:
BO = raiz5,71 times m5 times 9 times 8,85 times 10^5
BO = raiz5,71 times m399,75 times 10^5
BO = raiz5,71 times m3,9975 times 10^7 approx raiz1,427 times m10^7
BO approx raiz1,427 times 10^-7 times m approx 1,195 times 10^-3 raizm

Resposta

A amplitude do campo magnético BO approx 1,2 times 10^-3 raizm T necessário para acelerar a nave a 60% da velocidade da luz em um ano é aproximadamente:
Onde é a massa da nave em quilogramas.

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