Descreva o método de resolução de sistemas lineares conhecido como método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente descrever o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica usada para resolver sistemas de equações lineares. Para isso, vamos precisar entender matrizes, operações elementares em matrizes e o conceito de forma escalonada reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre matrizes. Uma matriz é uma tabela organizada de números em linhas e colunas. No contexto de sistemas lineares, a gente usa a matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes.
Passo 3
O método de Gauss-Jordan envolve aplicar operações elementares nas linhas da matriz aumentada. Essas operações são:
- Trocar duas linhas.
- Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
- Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha a outra linha.
Passo 4
O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada reduzida, onde:
- Cada linha não nula começa com 1 (chamado de pivô).
- Cada pivô é o único número 1 na sua coluna.
- Cada pivô está à direita da pivô na linha acima.
- Todas as linhas de zeros, se existirem, estão na parte de baixo da matriz.
Passo 5
Para aplicar o método, a gente geralmente segue estes passos:
- Escolher o pivô na primeira coluna e transformar ele em 1, se já não for.
- Zerar os elementos abaixo e acima do pivô usando operações elementares.
- Repetir o processo para as colunas seguintes até que toda a matriz esteja na forma escalonada reduzida.
Passo 6
Uma vez que a matriz está na forma escalonada reduzida, podemos ler as soluções diretamente. Se não tiver inconsistências, como uma linha do tipo
(onde
é uma constante diferente de zero), o sistema tem uma solução única. Se houver parâmetros livres, o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
O método de Gauss-Jordan é uma técnica sistemática para resolver sistemas lineares, transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida por meio de operações elementares nas linhas. Isso permite identificar as soluções do sistema de forma clara e direta.