Descreva o método de resolução de sistemas lineares conhecido como método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente descrever o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica usada para resolver sistemas de equações lineares. Para isso, vamos precisar entender matrizes, operações elementares em matrizes e o conceito de forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre matrizes. Uma matriz é uma tabela organizada de números em linhas e colunas. No contexto de sistemas lineares, a gente usa a matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes.

Passo 3

O método de Gauss-Jordan envolve aplicar operações elementares nas linhas da matriz aumentada. Essas operações são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha a outra linha.

Passo 4

O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada reduzida, onde:
  • Cada linha não nula começa com 1 (chamado de pivô).
  • Cada pivô é o único número 1 na sua coluna.
  • Cada pivô está à direita da pivô na linha acima.
  • Todas as linhas de zeros, se existirem, estão na parte de baixo da matriz.

Passo 5

Para aplicar o método, a gente geralmente segue estes passos:
  1. Escolher o pivô na primeira coluna e transformar ele em 1, se já não for.
  2. Zerar os elementos abaixo e acima do pivô usando operações elementares.
  3. Repetir o processo para as colunas seguintes até que toda a matriz esteja na forma escalonada reduzida.

Passo 6

Uma vez que a matriz está na forma escalonada reduzida, podemos ler as soluções diretamente. Se não tiver inconsistências, como uma linha do tipo (onde é uma constante diferente de zero), o sistema tem uma solução única. Se houver parâmetros livres, o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O método de Gauss-Jordan é uma técnica sistemática para resolver sistemas lineares, transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida por meio de operações elementares nas linhas. Isso permite identificar as soluções do sistema de forma clara e direta.

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