Descreva o movimento de uma partícula com posição quando varia do intervalo dado.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula que se move no plano com posição , onde e são funções do tempo . A gente precisa descrever como essa partícula se move quando varia de até . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que descrevem a posição da partícula:
Essas são equações paramétricas que representam o movimento da partícula no plano XY. A variável é o parâmetro que geralmente representa o tempo.

Passo 3

Observando as equações, vemos que ambas têm uma constante e um termo trigonométrico com amplitude 2. Isso sugere que a partícula está se movendo ao longo de uma circunferência. A forma geral das equações paramétricas de um círculo é:
onde é o centro do círculo e é o raio.

Passo 4

Comparando com as equações do exercício:
Portanto, o círculo tem centro em e raio igual a 2 unidades.

Passo 5

Agora, vamos entender o intervalo de : . Sabemos que varia de (90 graus) até (270 graus). Em termos de movimento no círculo, isso corresponde a um movimento do ponto vertical superior para o ponto vertical inferior passando pela parte esquerda do círculo.

Passo 6

Vamos ver os pontos inicial e final desse movimento:
  • Quando : Ponto inicial:
  • Quando : Ponto final:

Passo 7

Portanto, a partícula se move de para ao longo da circunferência de centro e raio 2, passando pela parte esquerda do círculo.

Resposta

A partícula se desloca ao longo de uma circunferência com centro em e raio 2, movendo-se do ponto até o ponto à medida que o tempo varia de a .

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(a)
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(19.2)