Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia do intervalo dado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula que se move no plano com posição
, onde
e
são funções do tempo
. A gente precisa descrever como essa partícula se move quando
varia de
até
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações que descrevem a posição da partícula:
Essas são equações paramétricas que representam o movimento da partícula no plano XY. A variável
é o parâmetro que geralmente representa o tempo.
Passo 3
Observando as equações, vemos que ambas têm uma constante e um termo trigonométrico com amplitude 2. Isso sugere que a partícula está se movendo ao longo de uma circunferência. A forma geral das equações paramétricas de um círculo é:
onde
é o centro do círculo e
é o raio.
Passo 4
Comparando com as equações do exercício:
Portanto, o círculo tem centro em
e raio igual a 2 unidades.
Passo 5
Agora, vamos entender o intervalo de
:
. Sabemos que
varia de
(90 graus) até
(270 graus). Em termos de movimento no círculo, isso corresponde a um movimento do ponto vertical superior para o ponto vertical inferior passando pela parte esquerda do círculo.
Passo 6
Vamos ver os pontos inicial e final desse movimento:
- Quando
: Ponto inicial: - Quando
: Ponto final:
Passo 7
Portanto, a partícula se move de
para
ao longo da circunferência de centro
e raio 2, passando pela parte esquerda do círculo.
Resposta
A partícula se desloca ao longo de uma circunferência com centro em
e raio 2, movendo-se do ponto
até o ponto
à medida que o tempo
varia de
a
.
Exercícios relacionados
Usando que
para
, calcule:
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices e assintótas
e
.
(e) Hiperbole, vértices
Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas. Em que elas diferem?
(a)
(a)
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.2)
(19.2)