Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está dentro de duas curvas em coordenadas polares: e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo envolvendo áreas em coordenadas polares, e precisaremos achar onde essas curvas se intersectam para saber os limites da nossa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando os valores de são iguais para o mesmo ângulo . Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para . Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Isso implica que:
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em , precisamos determinar os limites de integração para calcular a área. Observando as curvas, percebemos que a área comum está entre e .
Passo 5
A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares de a é:
No nosso caso, precisamos identificar qual curva está “externa” e qual está “interna” no intervalo considerado. Ao testar valores, percebemos que está acima de nesse intervalo.
Passo 6
Então, aplicando a fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Lembrando que:
Passo 8
Aplicando as integrais:
Calculando cada parte:
Para em :
E em :
Passo 9
Substituindo os limites:
Simplificando:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região que está dentro de ambas as curvas é: