Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está dentro de duas curvas em coordenadas polares: e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo envolvendo áreas em coordenadas polares, e precisaremos achar onde essas curvas se intersectam para saber os limites da nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando os valores de são iguais para o mesmo ângulo . Então, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para . Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Isso implica que:

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em , precisamos determinar os limites de integração para calcular a área. Observando as curvas, percebemos que a área comum está entre e .

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares de a é:
No nosso caso, precisamos identificar qual curva está “externa” e qual está “interna” no intervalo considerado. Ao testar valores, percebemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Então, aplicando a fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Lembrando que:

Passo 8

Aplicando as integrais:
Calculando cada parte:
Para em :
E em :

Passo 9

Substituindo os limites:
Simplificando:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região que está dentro de ambas as curvas é:

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