Determine a equação paramétrica da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
r(t)=(12 sen(t), 12 cos (t), raiz32), P=(0, 12, raiz32)

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir a equação paramétrica da reta tangente a uma curva específica num ponto dado. A curva está definida pela função vetorial e o ponto de tangência é . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de a função vetorial nos dá o ponto . Vamos igualar cada componente de às coordenadas de e resolver para .

Passo 3

A função vetorial dada é:
r(t) = (12 sin(t), 12 cos(t), raiz32)
Igualando às coordenadas de 12 sin(t) = 0 Rightarrow sin(t) = 0 :
12 cos(t) = 12 Rightarrow cos(t) = 1
raiz32 = raiz32 (já satisfaz)
á
A solução para e é .

Passo 4

Agora que sabemos que r,'(t) = (12 cos(t), -12 sin(t), 0) no ponto r,'(0) = (12 cos(0), -12 sin(0), 0) = (12, 0, 0) , vamos calcular a derivada da função vetorial , que nos dará a velocidade ou o vetor diretor da reta tangente.
A derivada de é:
Substituindo :
Então, o vetor diretor da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto L(s) = P + s cdot v e o vetor diretor, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A fórmula geral é:
L(s) = (0, 12, raiz32) + s cdot (12, 0, 0)
Onde x = 0 + 12s = 12s é o ponto de tangência, y = 12 + 0 cdot s = 12 é o vetor diretor, e z = raiz32 + 0 cdot s = raiz32 é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Isso resulta nas equações paramétricas:

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente é:
x = 12 s y = 12 z = raiz32
onde é um parâmetro real.

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