Determine a equação paramétrica da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir a equação paramétrica da reta tangente a uma curva específica num ponto dado. A curva está definida pela função vetorial e o ponto de tangência é . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de a função vetorial nos dá o ponto . Vamos igualar cada componente de às coordenadas de e resolver para .
Passo 3
A função vetorial dada é:
Igualando às coordenadas de :
A solução para e é .
Passo 4
Agora que sabemos que no ponto , vamos calcular a derivada da função vetorial , que nos dará a velocidade ou o vetor diretor da reta tangente.
A derivada de é:
Substituindo :
Então, o vetor diretor da reta tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor diretor, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A fórmula geral é:
Onde é o ponto de tangência, é o vetor diretor, e é o parâmetro.