a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número
com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para
e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de
com 5 casas decimais de precisão.
b) Escolha um valor irracional para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o método de Newton pra calcular o inverso de um número
diferente de zero, usando só multiplicação e soma ou subtração. Além disso, depois disso, temos que escolher um valor irracional para
e aplicar o esquema que criamos pra achar
com cinco casas decimais de precisão. Vamos precisar entender o que é o método de Newton e como ele pode ajudar a encontrar inversos de números.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método de Newton. É uma técnica usada para aproximar raízes de equações. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial e, usando derivadas, vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor que queremos. No nosso caso, queremos encontrar
, que é o inverso de
.
Passo 3
Para aplicar o método de Newton aqui, precisamos reformular o problema como encontrar a raiz de uma função. Vamos definir a função
. Queremos achar
tal que
, ou seja,
, o que significa que
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
Precisamos da derivada de
. Calculando:
Substituindo na fórmula:
Então, a fórmula iterativa fica:
Esse é o esquema que vamos usar para calcular
usando apenas multiplicação e soma/subtração.
Passo 5
Agora, vamos escolher um valor irracional para
. Um exemplo simples é
. Queremos calcular
com cinco casas decimais de precisão usando o esquema que criamos.
Passo 6
Precisamos de uma estimativa inicial para
. Uma boa escolha pode ser
, já que sabemos que
é aproximadamente 1.4142, então
deve estar perto de 0.7071.
Passo 7
Vamos aplicar a fórmula iterativa
com
e
:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
Notamos que a partir da terceira iteração, os valores se estabilizam em aproximadamente 0.7071.
Resposta
Usando o método de Newton, o inverso de
é aproximadamente
com cinco casas decimais de precisão.
Exercícios relacionados
O código abaixo implementa o método de Newton, no formato de função. Porém existem alguns erros no programa. Descreva quais são esses erros e o que deve ser feito para saná-los.
- function newton(func,
) - function
-
evstr(func) - endfunction
- err=e
- while (err>e) & (iter
nmax - x_antigo=x;
-
antigo- /numderivative( ; - iter=iter +1 ;
- err=abs(x-x_antigo)
-
12.end
13.ifthen - printf(13. printf(16.else
17. printf(
18.end
19.endfunction
Mostre que a equação
é equivalente às seguintes equações:
Destas, considere as seguintes iterações do método do ponto fixo:
a)
b)
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de e verificando se o critério de parada
é atingido.
a)
b)
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de
A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp.
|
calor específico |
---|---|
20 | 0.99907 |
25 | 0.99852 |
30 | 0.99826 |
35 | 0.99818 |
40 | 0.99828 |
45 | 0.99849 |
50 | 0.99878 |
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para
, com relação aos pontos de interpolação
(exiba os cálculos).