a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número
com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para
e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de
com 5 casas decimais de precisão.
b) Escolha um valor irracional para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o método de Newton pra calcular o inverso de um número
diferente de zero, usando só multiplicação e soma ou subtração. Além disso, depois disso, temos que escolher um valor irracional para
e aplicar o esquema que criamos pra achar
com cinco casas decimais de precisão. Vamos precisar entender o que é o método de Newton e como ele pode ajudar a encontrar inversos de números.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método de Newton. É uma técnica usada para aproximar raízes de equações. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial e, usando derivadas, vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor que queremos. No nosso caso, queremos encontrar
, que é o inverso de
.
Passo 3
Para aplicar o método de Newton aqui, precisamos reformular o problema como encontrar a raiz de uma função. Vamos definir a função
. Queremos achar
tal que
, ou seja,
, o que significa que
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
Precisamos da derivada de
. Calculando:
Substituindo na fórmula:
Então, a fórmula iterativa fica:
Esse é o esquema que vamos usar para calcular
usando apenas multiplicação e soma/subtração.
Passo 5
Agora, vamos escolher um valor irracional para
. Um exemplo simples é
. Queremos calcular
com cinco casas decimais de precisão usando o esquema que criamos.
Passo 6
Precisamos de uma estimativa inicial para
. Uma boa escolha pode ser
, já que sabemos que
é aproximadamente 1.4142, então
deve estar perto de 0.7071.
Passo 7
Vamos aplicar a fórmula iterativa
com
e
:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
Notamos que a partir da terceira iteração, os valores se estabilizam em aproximadamente 0.7071.
Resposta
Usando o método de Newton, o inverso de
é aproximadamente
com cinco casas decimais de precisão.