a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de com 5 casas decimais de precisão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o método de Newton pra calcular o inverso de um número diferente de zero, usando só multiplicação e soma ou subtração. Além disso, depois disso, temos que escolher um valor irracional para e aplicar o esquema que criamos pra achar com cinco casas decimais de precisão. Vamos precisar entender o que é o método de Newton e como ele pode ajudar a encontrar inversos de números.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método de Newton. É uma técnica usada para aproximar raízes de equações. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial e, usando derivadas, vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor que queremos. No nosso caso, queremos encontrar , que é o inverso de .

Passo 3

Para aplicar o método de Newton aqui, precisamos reformular o problema como encontrar a raiz de uma função. Vamos definir a função . Queremos achar tal que , ou seja, , o que significa que .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
Precisamos da derivada de . Calculando:
Substituindo na fórmula:
Então, a fórmula iterativa fica:
Esse é o esquema que vamos usar para calcular usando apenas multiplicação e soma/subtração.

Passo 5

Agora, vamos escolher um valor irracional para . Um exemplo simples é . Queremos calcular com cinco casas decimais de precisão usando o esquema que criamos.

Passo 6

Precisamos de uma estimativa inicial para . Uma boa escolha pode ser , já que sabemos que é aproximadamente 1.4142, então deve estar perto de 0.7071.

Passo 7

Vamos aplicar a fórmula iterativa com e :
  • Iteração 1:
  • Iteração 2:
  • Iteração 3:
  • Iteração 4:
  • Iteração 5:
Notamos que a partir da terceira iteração, os valores se estabilizam em aproximadamente 0.7071.

Resposta

Usando o método de Newton, o inverso de é aproximadamente com cinco casas decimais de precisão.

Exercícios relacionados

O código abaixo implementa o método de Newton, no formato de função. Porém existem alguns erros no programa. Descreva quais são esses erros e o que deve ser feito para saná-los.
  1. function newton(func, )
  2. function
  3. evstr(func)
  4. endfunction
  5. err=e
  6. while (err>e) & (iter nmax
  7. x_antigo=x;
  8. antigo- /numderivative( ;
  9. iter=iter +1 ;
  10. err=abs(x-x_antigo)

  11. 12.end
    13.if then
  12. printf(13. printf(16.else

17. printf(

18.end

19.endfunction

Mostre que a equação é equivalente às seguintes equações:
Destas, considere as seguintes iterações do método do ponto fixo:
a)
b)
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de e verificando se o critério de parada é atingido.
A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp. calor específico
20 0.99907
25 0.99852
30 0.99826
35 0.99818
40 0.99828
45 0.99849
50 0.99878
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para , com relação aos pontos de interpolação (exiba os cálculos).