a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número A neq 0 com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para A e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de 1A com 5 casas decimais de precisão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o método de Newton pra calcular o inverso de um número diferente de zero, usando só multiplicação e soma ou subtração. Além disso, depois disso, temos que escolher um valor irracional para e aplicar o esquema que criamos pra achar com cinco casas decimais de precisão. Vamos precisar entender o que é o método de Newton e como ele pode ajudar a encontrar inversos de números.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método de Newton. É uma técnica usada para aproximar raízes de equações. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial e, usando derivadas, vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor que queremos. No nosso caso, queremos encontrar , que é o inverso de .

Passo 3

Para aplicar o método de Newton aqui, precisamos reformular o problema como encontrar a raiz de uma função. Vamos definir a função . Queremos achar tal que , ou seja, , o que significa que .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Precisamos da derivada de f'(x) = -1x^2 . Calculando:
xn+1 = xn - 1xn - A-1xn^2 = xn + xn^2 ( 1xn - A ) = xn + xn - A xn^2 = xn (2 - A xn)
Substituindo na fórmula:
xn+1 = xn (2 - A xn)
Então, a fórmula iterativa fica:
Esse é o esquema que vamos usar para calcular usando apenas multiplicação e soma/subtração.

Passo 5

Agora, vamos escolher um valor irracional para . Um exemplo simples é . Queremos calcular com cinco casas decimais de precisão usando o esquema que criamos.

Passo 6

Precisamos de uma estimativa inicial para . Uma boa escolha pode ser , já que sabemos que é aproximadamente 1.4142, então deve estar perto de 0.7071.

Passo 7

Vamos aplicar a fórmula iterativa x1 = 1 times (2 - raiz2 times 1) = 2 - raiz2 approx 2 - 1.4142 = 0.5858 com x2 = 0.5858 times (2 - raiz2 times 0.5858) approx 0.5858 times (2 - 0.8284) = 0.5858 times 1.1716 approx 0.6863 e x3 = 0.6863 times (2 - raiz2 times 0.6863) approx 0.6863 times (2 - 0.9701) = 0.6863 times 1.0299 approx 0.7069 :
  • Iteração 1:
x4 = 0.7069 times (2 - raiz2 times 0.7069) approx 0.7069 times (2 - 1.0000) = 0.7069 times 1.0000 approx 0.7069
  • Iteração 2:
x5 = 0.7069 times (2 - raiz2 times 0.7069) approx 0.7069 times (2 - 1.0003) = 0.7069 times 0.9997 approx 0.7069
  • Iteração 3:
  • Iteração 4:
  • Iteração 5:
Notamos que a partir da terceira iteração, os valores se estabilizam em aproximadamente 0.7071.

Resposta

Usando o método de Newton, o inverso de é aproximadamente com cinco casas decimais de precisão.

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