Mostre que a equação x e^x=10 é equivalente às seguintes equações:
x=ln (10x) e x=10 e^-x
Destas, considere as seguintes iterações do método do ponto fixo:
a) xn+1=ln (10xn)
b) xn+1=10 e^-xn
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de xn+1 e verificando se o critério de parada com varepsilon=10^-5 é atingido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação é equivalente a duas outras equações: e . Depois, vamos usar o Método do Ponto Fixo para ver se essas iterações convergem, criando uma tabela de valores e checando se atingimos um erro menor que . Para isso, vamos precisar entender o que é equilíbrio de equações e como aplicar o Método do Ponto Fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que x e^x = 10 é equivalente a e^x = 10x .
Como fazer isso?
  1. Partimos da equação original: ln(e^x) = ln(10x)
  2. Dividimos ambos os lados por x = ln(10x) (assumindo que ):
  3. Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
  4. Sabemos que , então:
Pronto! Mostramos que é equivalente a .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que x e^x = 10 também é equivalente a x = 10e^x .
Passo a passo:
  1. Partimos da mesma equação original: x = 10 e^-x
  2. Para isolar , dividimos ambos os lados por :
  3. Sabemos que , então:
Assim, também provamos que é equivalente a .

Passo 4

Agora que sabemos que as três equações são equivalentes, vamos ao Método do Ponto Fixo. Esse método é usado para encontrar soluções de equações na forma . A ideia é começar com um palpite inicial e iterar usando a função para encontrar valores cada vez mais próximos da solução.
Itens que precisamos:
  • Funções iterativas para cada equação.
  • Um valor inicial .
  • Critério de parada baseado no erro .
Vamos aplicar isso para as duas funções iterativas que temos:
a)
b)

Passo 5

Vamos começar com a primeira iteração:

a)

Escolha do valor inicial: Vamos começar com .
Iterações:
Iteração (n) Erro ( \varepsilon = x_{n+1} - x_n )
0 2.00000 ( 1.60944 - 2 = 0.39056 )
1 1.60944 ( 1.82455 - 1.60944 \approx 0.21511 )
2 1.82455 ( 1.69896 - 1.82455 \approx 0.12559 )
3 1.69896 ( 1.77037 - 1.69896 \approx 0.07141 )
4 1.77037 ( 1.73097 - 1.77037 \approx 0.03940 )
5 1.73097 ( 1.75232 - 1.73097 \approx 0.02135 )
6 1.75232 ( 1.74155 - 1.75232 \approx 0.01077 )
7 1.74155 ( 1.74977 - 1.74155 \approx 0.00822 )
8 1.74977 ( 1.74219 - 1.74977 \approx 0.00758 )
Observação: Continuamos iterando até que o erro ( \varepsilon ) seja menor que . Conforme vemos, os valores estão convergindo para aproximadamente 1.7455.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função iterativa:

b)

Escolha do valor inicial: Vamos usar novamente .
Iterações:
Iteração (n) Erro ( \varepsilon = x_{n+1} - x_n )
0 2.00000 ( 1.35346 - 2 = 0.64654 )
1 1.35346 ( 2.5879 - 1.35346 \approx 1.2344 )
2 2.5879 ( 0.756 - 2.5879 \approx 1.8319 )
3 0.756 ( 4.694 - 0.756 \approx 3.938 )
4 4.694 ( 0.092 - 4.694 \approx 4.602 )
Observação: Nesse caso, percebemos que os valores estão “saltando” bastante e não estão se aproximando de um valor específico. Isso indica que o Método do Ponto Fixo com essa função iterativa não está convergindo.

Passo 7

Conclusão:
  • Para a iteração a) : O método está convergindo para aproximadamente , já que os valores de estão ficando cada vez mais próximos e o erro está diminuindo abaixo de .
  • Para a iteração b) : O método não está convergindo, pois os valores de estão oscilando e não se aproximando de um único valor.

Resposta

Utilizando o Método do Ponto Fixo, verificamos que a iteração converge para aproximadamente com erro menor que . Já a iteração não converge, pois os valores não se estabilizam em um único ponto.

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