Mostre que a equação
é equivalente às seguintes equações:
Destas, considere as seguintes iterações do método do ponto fixo:
a)
b)
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de
e verificando se o critério de parada
é atingido.
a)
b)
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação
é equivalente a duas outras equações:
e
. Depois, vamos usar o Método do Ponto Fixo para ver se essas iterações convergem, criando uma tabela de valores e checando se atingimos um erro menor que
. Para isso, vamos precisar entender o que é equilíbrio de equações e como aplicar o Método do Ponto Fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é equivalente a
.
Como fazer isso?
- Partimos da equação original:
- Dividimos ambos os lados por
(assumindo que ): - Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
: - Sabemos que
, então:
Pronto! Mostramos que
é equivalente a
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
também é equivalente a
.
Passo a passo:
- Partimos da mesma equação original:
- Para isolar
, dividimos ambos os lados por : - Sabemos que
, então:
Assim, também provamos que
é equivalente a
.
Passo 4
Agora que sabemos que as três equações são equivalentes, vamos ao Método do Ponto Fixo. Esse método é usado para encontrar soluções de equações na forma
. A ideia é começar com um palpite inicial
e iterar usando a função
para encontrar valores cada vez mais próximos da solução.
Itens que precisamos:
- Funções iterativas
para cada equação. - Um valor inicial
. - Critério de parada baseado no erro
.
Vamos aplicar isso para as duas funções iterativas que temos:
a)
b)
Passo 5
Vamos começar com a primeira iteração:
a)
Escolha do valor inicial: Vamos começar com
.
Iterações:
Iteração (n) |
|
|
Erro ( | \varepsilon | = | x_{n+1} - x_n | ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 2.00000 |
|
( | 1.60944 - 2 | = 0.39056 ) | ||
1 | 1.60944 |
|
( | 1.82455 - 1.60944 | \approx 0.21511 ) | ||
2 | 1.82455 |
|
( | 1.69896 - 1.82455 | \approx 0.12559 ) | ||
3 | 1.69896 |
|
( | 1.77037 - 1.69896 | \approx 0.07141 ) | ||
4 | 1.77037 |
|
( | 1.73097 - 1.77037 | \approx 0.03940 ) | ||
5 | 1.73097 |
|
( | 1.75232 - 1.73097 | \approx 0.02135 ) | ||
6 | 1.75232 |
|
( | 1.74155 - 1.75232 | \approx 0.01077 ) | ||
7 | 1.74155 |
|
( | 1.74977 - 1.74155 | \approx 0.00822 ) | ||
8 | 1.74977 |
|
( | 1.74219 - 1.74977 | \approx 0.00758 ) | ||
… | … | … | … | ||||
Observação: Continuamos iterando até que o erro ( | \varepsilon | ) seja menor que
|
Passo 6
Agora, vamos para a segunda função iterativa:
b)
Escolha do valor inicial: Vamos usar novamente
.
Iterações:
Iteração (n) |
|
|
Erro ( | \varepsilon | = | x_{n+1} - x_n | ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 2.00000 |
|
( | 1.35346 - 2 | = 0.64654 ) | ||
1 | 1.35346 |
|
( | 2.5879 - 1.35346 | \approx 1.2344 ) | ||
2 | 2.5879 |
|
( | 0.756 - 2.5879 | \approx 1.8319 ) | ||
3 | 0.756 |
|
( | 4.694 - 0.756 | \approx 3.938 ) | ||
4 | 4.694 |
|
( | 0.092 - 4.694 | \approx 4.602 ) | ||
… | … | … | … |
Observação: Nesse caso, percebemos que os valores estão “saltando” bastante e não estão se aproximando de um valor específico. Isso indica que o Método do Ponto Fixo com essa função iterativa não está convergindo.
Passo 7
Conclusão:
-
Para a iteração a)
: O método está convergindo para aproximadamente , já que os valores de estão ficando cada vez mais próximos e o erro está diminuindo abaixo de . -
Para a iteração b)
: O método não está convergindo, pois os valores de estão oscilando e não se aproximando de um único valor.
Resposta
Utilizando o Método do Ponto Fixo, verificamos que a iteração
converge para aproximadamente
com erro menor que
. Já a iteração
não converge, pois os valores não se estabilizam em um único ponto.