Mostre que a equação é equivalente às seguintes equações:
Destas, considere as seguintes iterações do método do ponto fixo:
a)
b)
Use o método do ponto fixo, para verificar se cada um dos processos iterativos acima converge ou não, construindo uma tabela de valores de e verificando se o critério de parada é atingido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação é equivalente a duas outras equações: e . Depois, vamos usar o Método do Ponto Fixo para ver se essas iterações convergem, criando uma tabela de valores e checando se atingimos um erro menor que . Para isso, vamos precisar entender o que é equilíbrio de equações e como aplicar o Método do Ponto Fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é equivalente a .
Como fazer isso?
  1. Partimos da equação original:
  2. Dividimos ambos os lados por (assumindo que ):
  3. Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
  4. Sabemos que , então:
Pronto! Mostramos que é equivalente a .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que também é equivalente a .
Passo a passo:
  1. Partimos da mesma equação original:
  2. Para isolar , dividimos ambos os lados por :
  3. Sabemos que , então:
Assim, também provamos que é equivalente a .

Passo 4

Agora que sabemos que as três equações são equivalentes, vamos ao Método do Ponto Fixo. Esse método é usado para encontrar soluções de equações na forma . A ideia é começar com um palpite inicial e iterar usando a função para encontrar valores cada vez mais próximos da solução.
Itens que precisamos:
  • Funções iterativas para cada equação.
  • Um valor inicial .
  • Critério de parada baseado no erro .
Vamos aplicar isso para as duas funções iterativas que temos:
a)
b)

Passo 5

Vamos começar com a primeira iteração:

a)

Escolha do valor inicial: Vamos começar com .
Iterações:
Iteração (n) Erro ( \varepsilon = x_{n+1} - x_n )
0 2.00000 ( 1.60944 - 2 = 0.39056 )
1 1.60944 ( 1.82455 - 1.60944 \approx 0.21511 )
2 1.82455 ( 1.69896 - 1.82455 \approx 0.12559 )
3 1.69896 ( 1.77037 - 1.69896 \approx 0.07141 )
4 1.77037 ( 1.73097 - 1.77037 \approx 0.03940 )
5 1.73097 ( 1.75232 - 1.73097 \approx 0.02135 )
6 1.75232 ( 1.74155 - 1.75232 \approx 0.01077 )
7 1.74155 ( 1.74977 - 1.74155 \approx 0.00822 )
8 1.74977 ( 1.74219 - 1.74977 \approx 0.00758 )
Observação: Continuamos iterando até que o erro ( \varepsilon ) seja menor que . Conforme vemos, os valores estão convergindo para aproximadamente 1.7455.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função iterativa:

b)

Escolha do valor inicial: Vamos usar novamente .
Iterações:
Iteração (n) Erro ( \varepsilon = x_{n+1} - x_n )
0 2.00000 ( 1.35346 - 2 = 0.64654 )
1 1.35346 ( 2.5879 - 1.35346 \approx 1.2344 )
2 2.5879 ( 0.756 - 2.5879 \approx 1.8319 )
3 0.756 ( 4.694 - 0.756 \approx 3.938 )
4 4.694 ( 0.092 - 4.694 \approx 4.602 )
Observação: Nesse caso, percebemos que os valores estão “saltando” bastante e não estão se aproximando de um valor específico. Isso indica que o Método do Ponto Fixo com essa função iterativa não está convergindo.

Passo 7

Conclusão:
  • Para a iteração a) : O método está convergindo para aproximadamente , já que os valores de estão ficando cada vez mais próximos e o erro está diminuindo abaixo de .
  • Para a iteração b) : O método não está convergindo, pois os valores de estão oscilando e não se aproximando de um único valor.

Resposta

Utilizando o Método do Ponto Fixo, verificamos que a iteração converge para aproximadamente com erro menor que . Já a iteração não converge, pois os valores não se estabilizam em um único ponto.

Exercícios relacionados

Teste o programa acima para a função , definida por
e exprima suas conclusões com base nos resultados encontrados.
Sejam um subconjunto de e um subconjunto de . Suponha que , . Julgue as afirmações a seguir, justificando suas respostas.
( )
( )
)


( )
O código abaixo implementa o método de Newton, no formato de função. Porém existem alguns erros no programa. Descreva quais são esses erros e o que deve ser feito para saná-los.
  1. function newton(func, )
  2. function
  3. evstr(func)
  4. endfunction
  5. err=e
  6. while (err>e) & (iter nmax
  7. x_antigo=x;
  8. antigo- /numderivative( ;
  9. iter=iter +1 ;
  10. err=abs(x-x_antigo)

  11. 12.end
    13.if then
  12. printf(13. printf(16.else

17. printf(

18.end

19.endfunction

a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de com 5 casas decimais de precisão.