A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp.
|
calor específico |
---|---|
20 | 0.99907 |
25 | 0.99852 |
30 | 0.99826 |
35 | 0.99818 |
40 | 0.99828 |
45 | 0.99849 |
50 | 0.99878 |
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela que relaciona a temperatura (em °C) com o calor específico da água. Nosso objetivo aqui é usar interpolação com um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio quadrático, para encontrar o calor específico em uma temperatura que não está na tabela. Para isso, vamos precisar selecionar três pontos da tabela próximos à temperatura que queremos descobrir e aplicar a fórmula da interpolação quadrática.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher a temperatura para a qual queremos encontrar o calor específico. Vamos supor que queremos descobrir o calor específico da água a 32°C. Observando a tabela, vemos que 32°C não está listado, mas está entre 30°C e 35°C. Então, usaremos as temperaturas 30°C, 35°C e 40°C para fazer nossa interpolação.
Passo 3
Agora, vamos listar os pontos que vamos usar:
- (30, 0.99826)
- (35, 0.99818)
- (40, 0.99828)
Esses são os três pontos próximos à nossa temperatura alvo de 32°C. Vamos usar a fórmula da interpolação quadrática, que é:
Onde
é o calor específico em função da temperatura
, e
,
,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes
,
e
, vamos montar um sistema de equações usando os três pontos que escolhemos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Vamos simplificar essas equações:
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar
:
- Segunda - Primeira:
- Terceira - Primeira:
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas equações:
Vamos simplificar essas equações dividindo a Equação 4 por 5 e a Equação 5 por 10:
-
\quad (Equação 6) -
\quad (Equa�o 7)
Agora, subtraímos a Equação 6 da Equação 7 para eliminar
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar
:
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos substituir na primeira equação original para encontrar
:
Passo 9
Agora que temos os coeficientes
,
e
, podemos montar a equação do polinômio quadrático:
Passo 10
Finalmente, vamos usar essa equação para encontrar o calor específico da água a 32°C:
Resposta
O calor específico da água a 32°C, usando interpolação com polinômio de grau 2, é aproximadamente 0,99821.
Exercícios relacionados
a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número
com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de
com 5 casas decimais de precisão.
b) Escolha um valor irracional para
O código abaixo implementa o método de Newton, no formato de função. Porém existem alguns erros no programa. Descreva quais são esses erros e o que deve ser feito para saná-los.
- function newton(func,
) - function
-
evstr(func) - endfunction
- err=e
- while (err>e) & (iter
nmax - x_antigo=x;
-
antigo- /numderivative( ; - iter=iter +1 ;
- err=abs(x-x_antigo)
-
12.end
13.ifthen - printf(13. printf(16.else
17. printf(
18.end
19.endfunction
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para
, com relação aos pontos de interpolação
(exiba os cálculos).
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);