A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp. ( ^circ C) calor específico
20 0.99907
25 0.99852
30 0.99826
35 0.99818
40 0.99828
45 0.99849
50 0.99878
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela que relaciona a temperatura (em °C) com o calor específico da água. Nosso objetivo aqui é usar interpolação com um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio quadrático, para encontrar o calor específico em uma temperatura que não está na tabela. Para isso, vamos precisar selecionar três pontos da tabela próximos à temperatura que queremos descobrir e aplicar a fórmula da interpolação quadrática.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher a temperatura para a qual queremos encontrar o calor específico. Vamos supor que queremos descobrir o calor específico da água a 32°C. Observando a tabela, vemos que 32°C não está listado, mas está entre 30°C e 35°C. Então, usaremos as temperaturas 30°C, 35°C e 40°C para fazer nossa interpolação.

Passo 3

Agora, vamos listar os pontos que vamos usar:
  • (30, 0.99826)
  • (35, 0.99818)
  • (40, 0.99828)
Esses são os três pontos próximos à nossa temperatura alvo de 32°C. Vamos usar a fórmula da interpolação quadrática, que é:
C(T) = aT^2 + bT + c
Onde é o calor específico em função da temperatura , e , , são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os coeficientes 0.99826 = a(30)^2 + b(30) + c , 0.99818 = a(35)^2 + b(35) + c e 0.99828 = a(40)^2 + b(40) + c , vamos montar um sistema de equações usando os três pontos que escolhemos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Vamos simplificar essas equações:
  1. 0.99818 - 0.99826 = (1225a - 900a) + (35b - 30b)
  2. -0.00008 = 325a + 5b (Equação 4)
  3. 0.99828 - 0.99826 = (1600a - 900a) + (40b - 30b)
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar 0.00002 = 700a + 10b (Equação 5) :
  • Segunda - Primeira:
çã
  • Terceira - Primeira:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
  1. 0.000002 - (-0.000016) = (70a - 65a) + (b - b)
  2. 0.000018 = 5a
Vamos simplificar essas equações dividindo a Equação 4 por 5 e a Equação 5 por 10:
  1. a = 0.0000185 = 0.0000036 \quad (Equação 6)
  2. \quad (Equa�o 7)
Agora, subtraímos a Equação 6 da Equação 7 para eliminar :

Passo 7

Com o valor de -0.000016 = 65(0.0000036) + b encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar -0.000016 = 0.000234 + b :
b = -0.000016 - 0.000234 = -0.00025

Passo 8

Agora que temos 0.99826 = 900(0.0000036) + 30(-0.00025) + c e 0.99826 = 0.00324 - 0.0075 + c , vamos substituir na primeira equação original para encontrar c = 0.99826 - 0.00324 + 0.0075 = 1.00252 :

Passo 9

Agora que temos os coeficientes C(T) = 0.0000036T^2 - 0.00025T + 1.00252 , e , podemos montar a equação do polinômio quadrático:

Passo 10

Finalmente, vamos usar essa equação para encontrar o calor específico da água a 32°C:
C(32) = 0.0000036(32)^2 - 0.00025(32) + 1.00252
C(32) = 0.0000036(1024) - 0.008 + 1.00252
C(32) = 0.0036864 - 0.008 + 1.00252
C(32) = 0.0036864 - 0.008 + 1.00252 = 0.9982064

Resposta

O calor específico da água a 32°C, usando interpolação com polinômio de grau 2, é aproximadamente 0,99821.

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