A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp. calor específico
20 0.99907
25 0.99852
30 0.99826
35 0.99818
40 0.99828
45 0.99849
50 0.99878
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela que relaciona a temperatura (em °C) com o calor específico da água. Nosso objetivo aqui é usar interpolação com um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio quadrático, para encontrar o calor específico em uma temperatura que não está na tabela. Para isso, vamos precisar selecionar três pontos da tabela próximos à temperatura que queremos descobrir e aplicar a fórmula da interpolação quadrática.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher a temperatura para a qual queremos encontrar o calor específico. Vamos supor que queremos descobrir o calor específico da água a 32°C. Observando a tabela, vemos que 32°C não está listado, mas está entre 30°C e 35°C. Então, usaremos as temperaturas 30°C, 35°C e 40°C para fazer nossa interpolação.

Passo 3

Agora, vamos listar os pontos que vamos usar:
  • (30, 0.99826)
  • (35, 0.99818)
  • (40, 0.99828)
Esses são os três pontos próximos à nossa temperatura alvo de 32°C. Vamos usar a fórmula da interpolação quadrática, que é:
Onde é o calor específico em função da temperatura , e , , são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os coeficientes , e , vamos montar um sistema de equações usando os três pontos que escolhemos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Vamos simplificar essas equações:
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar :
  • Segunda - Primeira:
çã
  • Terceira - Primeira:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
Vamos simplificar essas equações dividindo a Equação 4 por 5 e a Equação 5 por 10:
  1. \quad (Equação 6)
  2. \quad (Equa�o 7)
Agora, subtraímos a Equação 6 da Equação 7 para eliminar :

Passo 7

Com o valor de encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar :

Passo 8

Agora que temos e , vamos substituir na primeira equação original para encontrar :

Passo 9

Agora que temos os coeficientes , e , podemos montar a equação do polinômio quadrático:

Passo 10

Finalmente, vamos usar essa equação para encontrar o calor específico da água a 32°C:

Resposta

O calor específico da água a 32°C, usando interpolação com polinômio de grau 2, é aproximadamente 0,99821.

Exercícios relacionados

a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de com 5 casas decimais de precisão.
O código abaixo implementa o método de Newton, no formato de função. Porém existem alguns erros no programa. Descreva quais são esses erros e o que deve ser feito para saná-los.
  1. function newton(func, )
  2. function
  3. evstr(func)
  4. endfunction
  5. err=e
  6. while (err>e) & (iter nmax
  7. x_antigo=x;
  8. antigo- /numderivative( ;
  9. iter=iter +1 ;
  10. err=abs(x-x_antigo)

  11. 12.end
    13.if then
  12. printf(13. printf(16.else

17. printf(

18.end

19.endfunction

(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para , com relação aos pontos de interpolação (exiba os cálculos).
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);