(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para
, com relação aos pontos de interpolação
(exiba os cálculos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função
, usando os pontos
. Para isso, vamos precisar usar o método de interpolação de Lagrange, que nos ajuda a construir um polinômio que passa exatamente por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos de interpolação. Temos
pontos, então
. Os pontos são:
E os valores da função
nesses pontos são:
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. Ele é construído pela soma dos produtos dos valores da função nos pontos dados com os polinômios básicos de Lagrange
. Cada
é definido por:
Isso significa que para cada ponto
, criamos um polinômio que vale 1 em
e 0 nos outros pontos
.
Passo 4
Vamos calcular cada um dos polinômios básicos
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos os polinômios básicos
, vamos construir o polinômio interpolador
de Lagrange:
Substituindo os valores de
:
Simplificando:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange para
nos pontos
é dado por:
Exercícios relacionados
A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp.
|
calor específico |
---|---|
20 | 0.99907 |
25 | 0.99852 |
30 | 0.99826 |
35 | 0.99818 |
40 | 0.99828 |
45 | 0.99849 |
50 | 0.99878 |
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número
com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de
com 5 casas decimais de precisão.
b) Escolha um valor irracional para
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).