(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para , com relação aos pontos de interpolação (exiba os cálculos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função , usando os pontos . Para isso, vamos precisar usar o método de interpolação de Lagrange, que nos ajuda a construir um polinômio que passa exatamente por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos de interpolação. Temos pontos, então . Os pontos são:
E os valores da função nesses pontos são:

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. Ele é construído pela soma dos produtos dos valores da função nos pontos dados com os polinômios básicos de Lagrange . Cada é definido por:
Isso significa que para cada ponto , criamos um polinômio que vale 1 em e 0 nos outros pontos .

Passo 4

Vamos calcular cada um dos polinômios básicos :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos os polinômios básicos , vamos construir o polinômio interpolador de Lagrange:
Substituindo os valores de :
Simplificando:

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange para nos pontos é dado por:

Exercícios relacionados

A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temp. calor específico
20 0.99907
25 0.99852
30 0.99826
35 0.99818
40 0.99828
45 0.99849
50 0.99878
Resolver os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2 :
a) Descreva como podemos usar o método de Newton, para criar um esquema computacional para o cálculo do inverso de um número com base em operações apenas de multiplicação e soma/subtração.
b) Escolha um valor irracional para e use o esquema anterior para o cálculo aproximado de com 5 casas decimais de precisão.
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
© nos pontos 1, 2, 4 e 8 (cúbico).