(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para f(x)= sin (x), com relação aos pontos de interpolação 0, 13, 23, 1 (exiba os cálculos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função , usando os pontos . Para isso, vamos precisar usar o método de interpolação de Lagrange, que nos ajuda a construir um polinômio que passa exatamente por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos de interpolação. Temos x0 = 0, x1 = 13, x2 = 23, x3 = 1 pontos, então f(x0) = sin(0) = 0 . Os pontos são:
f(x1) = sin(13)
E os valores da função f(x2) = sin(23) nesses pontos são:
f(x3) = sin(1)

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. Ele é construído pela soma dos produtos dos valores da função nos pontos dados com os polinômios básicos de Lagrange Li(x) = prodsubstack0 <= j <= 3 j neq i x - xjxi - xj . Cada é definido por:
Isso significa que para cada ponto , criamos um polinômio que vale 1 em e 0 nos outros pontos .

Passo 4

Vamos calcular cada um dos polinômios básicos L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) = (x - 13)(x - 23)(x - 1)(0 - 13)(0 - 23)(0 - 1) = (x - 13)(x - 23)(x - 1) -13 cdot -23 cdot -1 = -27(x - 13)(x - 23)(x - 1) :
Para L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) = (x - 0)(x - 23)(x - 1)13 cdot (13 - 23) cdot (13 - 1) = x(x - 23)(x - 1)13 cdot -13 cdot -23 = 272x(x - 23)(x - 1) :
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) = (x - 0)(x - 13)(x - 1)23 cdot (23 - 13) cdot (23 - 1) = x(x - 13)(x - 1)23 cdot 13 cdot -13 = -18x(x - 13)(x - 1)
Para L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) = (x - 0)(x - 13)(x - 23)1 cdot (1 - 13) cdot (1 - 23) = x(x - 13)(x - 23)1 cdot 23 cdot 13 = 9x(x - 13)(x - 23) :
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos os polinômios básicos P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x) , vamos construir o polinômio interpolador P(x) = 0 cdot L0(x) + sin(13) cdot L1(x) + sin(23) cdot L2(x) + sin(1) cdot L3(x) de Lagrange:
P(x) = sin(13) cdot 272x(x - 23)(x - 1) - sin(23) cdot 18x(x - 13)(x - 1) + sin(1) cdot 9x(x - 13)(x - 23)
Substituindo os valores de :
Simplificando:

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange para P(x) = sin(13) cdot 272x(x - 23)(x - 1) - sin(23) cdot 18x(x - 13)(x - 1) + sin(1) cdot 9x(x - 13)(x - 23) nos pontos é dado por:

Exercícios relacionados