(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para
, com relação aos pontos de interpolação
(exiba os cálculos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para a função
, usando os pontos
. Para isso, vamos precisar usar o método de interpolação de Lagrange, que nos ajuda a construir um polinômio que passa exatamente por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos de interpolação. Temos
pontos, então
. Os pontos são:
E os valores da função
nesses pontos são:
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. Ele é construído pela soma dos produtos dos valores da função nos pontos dados com os polinômios básicos de Lagrange
. Cada
é definido por:
Isso significa que para cada ponto
, criamos um polinômio que vale 1 em
e 0 nos outros pontos
.
Passo 4
Vamos calcular cada um dos polinômios básicos
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos os polinômios básicos
, vamos construir o polinômio interpolador
de Lagrange:
Substituindo os valores de
:
Simplificando:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange para
nos pontos
é dado por: