Determine domínio e imagem das funções a seguir:
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o domínio e a imagem de algumas funções. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (x) que a função pode aceitar sem problemas, e a imagem é o conjunto de todos os valores de saída (f(x)) que a função pode produzir. Para resolver isso, a gente vai analisar cada função individualmente, verificando as restrições e os possíveis valores que elas podem assumir.

Passo 2

Vamos começar com a função (a): .
Primeiro, para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação para achar o domínio.

Passo 3

Resolvendo :
Primeiro, reorganizamos a inequação:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Agora, vamos analisar os intervalos definidos por essas raízes para saber onde a inequação é verdadeira:
  • Para , a expressão é positiva.
  • Para , a expressão é negativa ou zero.
  • Para , a expressão é positiva.
Como buscamos onde a expressão é menor ou igual a zero:
Esse é o domínio de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de .
Dentro do intervalo , a expressão varia de 0 a uma certa valor máximo. Para achar a imagem, precisamos encontrar o máximo valor de .
O máximo ocorre no vértice da parábola . A coordenada do vértice é:
Substituindo na função:
Então, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos para a função (b): .
Primeiro, para a raiz quadrada estar definida:
Então, o domínio de é .

Passo 6

Para encontrar a imagem de , observamos que é sempre maior ou igual a zero. Assim, o menor valor de ocorre quando :
E à medida que aumenta, também aumenta sem limites, então a imagem de é .

Passo 7

Agora vamos para a função ©:
Vamos encontrar o domínio e a imagem para cada pedaço separadamente.

Passo 8

Primeiro, o domínio de é a união dos intervalos de cada caso:
Ou seja, o domínio é .

Passo 9

Agora, vamos determinar a imagem para cada parte:
  1. Para , :
    • O menor valor ocorre em : .
    • O maior valor ocorre em : .
    • Ent��o, a imagem desse trecho é .
  2. Para , :
    • Quando : .
    • Quando : .
    • Então, a imagem desse trecho é .
  3. Para , :
    • Quando : .
    • Quando : .
    • Então, a imagem desse trecho é .

Passo 10

Para obter a imagem total de , combinamos as imagens de cada trecho:
  • (do primeiro trecho),
  • (do segundo trecho),
  • (do terceiro trecho).
Unindo todos, a imagem de é .

Passo 11

Finalmente, vamos para a função (d):
Vamos encontrar o domínio e a imagem para cada caso.

Passo 12

O domínio de é a união dos intervalos de cada caso:
Ou seja, o domínio é .

Passo 13

Agora, a imagem para cada parte:
  1. Para , :
    • A função cosseno oscila entre -1 e 1.
    • Quando : .
    • Quando : .
    • Então, a imagem desse trecho é .
  2. Para , :
    • A função é constante, então a imagem é apenas .
  3. Para , :
    • Podemos reescrever como .
    • É uma parábola com vértice em :
    • Quando se aproxima de 2:
    • Então, a imagem desse trecho é .

Passo 14

União das imagens de cada trecho:
  • (do primeiro trecho),
  • (do segundo trecho),
  • (do terceiro trecho).
Combinando tudo, a imagem de é .

Resposta

(a)
  • Domínio:
  • Imagem:
(b)
  • Domínio:
  • Imagem:
©
  • Domínio:
  • Imagem:
(d)
  • Domínio:
  • Imagem:

Exercícios relacionados

Faça um esboço do gráfico das funções e definidas a continuação e compare seu comportamento para valores grandes de :
(a) .
(b) .
Descreva como seria o gráfico de uma função que seja,
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período , isto é: , para todo .
Mostre que as seguintes funções são bijetóras e encontre sua inversa:
(a) , para ;
(b) .
Determine a paridade de quando:
(a) e são ímpares.
(b) par e ímpar.
© é par