Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o domínio e a imagem de algumas funções. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (x) que a função pode aceitar sem problemas, e a imagem é o conjunto de todos os valores de saída (f(x)) que a função pode produzir. Para resolver isso, a gente vai analisar cada função individualmente, verificando as restrições e os possíveis valores que elas podem assumir.
Passo 2
Vamos começar com a função (a): .
Primeiro, para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação para achar o domínio.
Passo 3
Resolvendo :
Primeiro, reorganizamos a inequação:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Agora, vamos analisar os intervalos definidos por essas raízes para saber onde a inequação é verdadeira:
Para , a expressão é positiva.
Para , a expressão é negativa ou zero.
Para , a expressão é positiva.
Como buscamos onde a expressão é menor ou igual a zero:
Esse é o domínio de .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de .
Dentro do intervalo , a expressão varia de 0 a uma certa valor máximo. Para achar a imagem, precisamos encontrar o máximo valor de .
O máximo ocorre no vértice da parábola . A coordenada do vértice é:
Substituindo na função:
Então, varia de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos para a função (b): .
Primeiro, para a raiz quadrada estar definida:
Então, o domínio de é .
Passo 6
Para encontrar a imagem de , observamos que é sempre maior ou igual a zero. Assim, o menor valor de ocorre quando :
E à medida que aumenta, também aumenta sem limites, então a imagem de é .