Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever o sólido cujo volume é dado pela integral . Estamos lidando com geometria no espaço usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos entender cada parte da integral e como essas coordenadas definem o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • (phi): o ângulo que a linha que vai do ponto até a origem faz com o eixo z.
  • (theta): o ângulo que a projeção da linha no plano xy faz com o eixo x.
A integral que estamos vendo calcula o volume desse sólido usando esses três parâmetros.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração:
  • varia de 1 a 2. Isso significa que estamos considerando pontos que estão a uma distância entre 1 e 2 unidades da origem.
  • varia de 0 a . Esse intervalo de ângulos indica que estamos apenas olhando para pontos acima do plano xy, já que está no eixo z positivo e está no plano xy.
  • varia de 0 a . Isso significa que estamos considerando apenas o primeiro quadrante no plano xy, onde tanto x quanto y são positivos.

Passo 4

Com esses limites, o sólido que estamos descrevendo é uma parte de um anel esférico (ou camada esférica) que está limitado entre as esferas de raio 1 e 2, acima do plano xy, e no primeiro quadrante do espaço. Ou seja, é como um “fatia” de uma casca esférica, restrita aos valores positivos de x e y.

Resposta

O sólido é a porção do espaço limitada entre as esferas de raio 1 e 2, situada acima do plano xy (onde vai de 0 a ) e localizada no primeiro quadrante (onde vai de 0 a ). Em outras palavras, é um “anel esférico” que fica entre as esferas de raio 1 e 2, acima do plano xy e no primeiro quadrante.

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Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais .
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