Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever o sólido cujo volume é dado pela integral
. Estamos lidando com geometria no espaço usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos entender cada parte da integral e como essas coordenadas definem o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
(phi): o ângulo que a linha que vai do ponto até a origem faz com o eixo z. -
(theta): o ângulo que a projeção da linha no plano xy faz com o eixo x.
A integral que estamos vendo calcula o volume desse sólido usando esses três parâmetros.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração:
-
varia de 1 a 2. Isso significa que estamos considerando pontos que estão a uma distância entre 1 e 2 unidades da origem. -
varia de 0 a . Esse intervalo de ângulos indica que estamos apenas olhando para pontos acima do plano xy, já que está no eixo z positivo e está no plano xy. -
varia de 0 a . Isso significa que estamos considerando apenas o primeiro quadrante no plano xy, onde tanto x quanto y são positivos.
Passo 4
Com esses limites, o sólido que estamos descrevendo é uma parte de um anel esférico (ou camada esférica) que está limitado entre as esferas de raio 1 e 2, acima do plano xy, e no primeiro quadrante do espaço. Ou seja, é como um “fatia” de uma casca esférica, restrita aos valores positivos de x e y.
Resposta
O sólido é a porção do espaço limitada entre as esferas de raio 1 e 2, situada acima do plano xy (onde
vai de 0 a
) e localizada no primeiro quadrante (onde
vai de 0 a
). Em outras palavras, é um “anel esférico” que fica entre as esferas de raio 1 e 2, acima do plano xy e no primeiro quadrante.
Exercícios relacionados
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
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Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais
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Um sólido
é delimitado pelo paraboloide
, pelo interior do cilindro
e pelo plano-
. Sabendo que a densidade no ponto
é a distância do ponto ao eixo-z, determine a massa de
.