Um sólido é delimitado pelo paraboloide , pelo interior do cilindro e pelo plano- . Sabendo que a densidade no ponto é a distância do ponto ao eixo-z, determine a massa de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sólido que é delimitado por três superfícies:
  1. Um paraboloide dado por .
  2. O interior de um cilindro .
  3. O plano (que é onde ).
Além disso, a densidade em cada ponto desse sólido é a distância desse ponto ao eixo . Nosso objetivo é determinar a massa total do sólido .
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas, já que as simetrias do problema se encaixam bem nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade. A densidade em um ponto é a distância desse ponto ao eixo . Matematicamente, essa distância é dada por:
Em coordenadas cilíndricas, onde , a densidade fica simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, temos:
  • varia de 0 até 2, já que o cilindro que delimita o sólido tem raio 2 ( ).
  • varia de 0 a para percorrer todo o círculo.
  • varia do plano (onde ) até o paraboloide .

Passo 4

A massa do sólido pode ser calculada usando uma integral tripla da densidade sobre o volume :
Substituindo a densidade por :

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
Substituindo :
  1. Integração em :

Resposta

A massa do sólido é .

Exercícios relacionados

Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais .
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .
Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.
Determine o volume so sólido que está abaixo do paraboloide elíptico acima do retângulo .