Um sólido é delimitado pelo paraboloide , pelo interior do cilindro e pelo plano- . Sabendo que a densidade no ponto é a distância do ponto ao eixo-z, determine a massa de .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sólido que é delimitado por três superfícies:
Um paraboloide dado por .
O interior de um cilindro .
O plano (que é onde ).
Além disso, a densidade em cada ponto desse sólido é a distância desse ponto ao eixo . Nosso objetivo é determinar a massa total do sólido .
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas, já que as simetrias do problema se encaixam bem nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade. A densidade em um ponto é a distância desse ponto ao eixo . Matematicamente, essa distância é dada por:
Em coordenadas cilíndricas, onde , a densidade fica simplesmente .
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas, temos:
varia de 0 até 2, já que o cilindro que delimita o sólido tem raio 2 ().
varia de 0 a para percorrer todo o círculo.
varia do plano (onde ) até o paraboloide .
Passo 4
A massa do sólido pode ser calculada usando uma integral tripla da densidade sobre o volume :