Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrações e, por fim, calcular a integral dupla dada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a inversão da ordem de integração. Vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam para inverter a ordem sem complicações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2. Para cada valor de , varia de até 4. Para visualizar isso, podemos desenhar o plano :
  1. O limite inferior de é 0 e o superior é 2.
  2. A reta passa pela origem e tem inclinação 2.
  3. também varia até 4, que é uma linha vertical.
Assim, a região é um trapézio limitado por , , e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem das integrações. Atualmente, integramos primeiro em e depois em . Queremos fazer o contrário: integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos redefinir os limites:
  1. varia de 0 a 4.
  2. Para cada , varia de 0 até (já que implica ).
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral agora. Primeiro, integramos em :
Agora, substituímos isso na integral principal:
Fazendo uma substituição , temos . Então:
Aplicando os limites de 0 a 4:

Resposta

A integral vale .

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Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .
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Um sólido é delimitado pelo paraboloide , pelo interior do cilindro e pelo plano- . Sabendo que a densidade no ponto é a distância do ponto ao eixo-z, determine a massa de .
Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.