Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais integral0^2 integral2 y^4 y^2 e^(x^4 / 4) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrações e, por fim, calcular a integral dupla dada por:
integral0^2 integral2y^4 y^2 e^(x^44) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a inversão da ordem de integração. Vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam para inverter a ordem sem complicações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2. Para cada valor de , varia de até 4. Para visualizar isso, podemos desenhar o plano :
  1. O limite inferior de é 0 e o superior é 2.
  2. A reta passa pela origem e tem inclinação 2.
  3. também varia até 4, que é uma linha vertical.
Assim, a região é um trapézio limitado por , , e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem das integrações. Atualmente, integramos primeiro em integral0^4 integral0^x2 y^2 e^(x^44) , dy , dx e depois em . Queremos fazer o contrário: integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos redefinir os limites:
  1. varia de 0 a 4.
  2. Para cada , varia de 0 até (já que implica ).
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral agora. Primeiro, integramos em integral0^x2 y^2 , dy = [ y^33 ]0^x2 = (x2)^33 = x^324 :
integral0^4 x^324 e^(x^44) , dx
Agora, substituímos isso na integral principal:
integral x^324 e^u , dx = 124 integral e^u , du = 124 e^u + C = 124 e^(x^44) + C
Fazendo uma substituição [ 124 e^(4^44) ] - [ 124 e^0 ] = 124 ( e^16 - 1 ) , temos . Então:
Aplicando os limites de 0 a 4:

Resposta

A integral vale .

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