Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrações e, por fim, calcular a integral dupla dada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a inversão da ordem de integração. Vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam para inverter a ordem sem complicações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de
até 4. Para visualizar isso, podemos desenhar o plano
:
- O limite inferior de
é 0 e o superior é 2. - A reta
passa pela origem e tem inclinação 2. -
também varia até 4, que é uma linha vertical.
Assim, a região é um trapézio limitado por
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem das integrações. Atualmente, integramos primeiro em
e depois em
. Queremos fazer o contrário: integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, precisamos redefinir os limites:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, varia de 0 até (já que implica ).
Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral agora. Primeiro, integramos em
:
Agora, substituímos isso na integral principal:
Fazendo uma substituição
, temos
. Então:
Aplicando os limites de 0 a 4:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.
Um sólido
é delimitado pelo paraboloide
, pelo interior do cilindro
e pelo plano-
. Sabendo que a densidade no ponto
é a distância do ponto ao eixo-z, determine a massa de
.
Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.