Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço , então .

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: A afirmação diz que se um vetor é ortogonal a todos os vetores de um subespaço , então deve ser o vetor zero, . Nosso conteúdo aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser ortogonal a um subespaço e as propriedades do espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a um subespaço. Um vetor é ortogonal a um subespaço se ele é ortogonal a todos os vetores em . Ou seja, para qualquer vetor , o produto interno .

Passo 3

Agora, consideremos que é um subespaço. Um subespaço sempre contém o vetor zero, . Então, se é ortogonal a cada vetor de , particularmente, deve ser ortogonal ao vetor zero. Vamos analisar isso.

Passo 4

O produto interno de qualquer vetor com o vetor zero é sempre zero, ou seja, . Isso já está de acordo com a condição dada, mas não nos informa muito. Precisamos explorar mais a fundo.

Passo 5

Vamos considerar que se é ortogonal a todos os vetores de , incluindo todos os seus vetores geradores. Se é um subespaço que, por exemplo, é todo o espaço vetorial, então o único vetor que é ortogonal a todos os vetores nesse espaço é o vetor zero. Mas, se for um subespaço menor, pode haver outros vetores ortogonais a ele além do zero.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que "se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço , então " nem sempre é verdadeira. Depende do subespaço . Se for o próprio espaço vetorial, então sim, apenas o vetor zero satisfaz essa condição. Porém, se for um subespaço próprio, existem vetores não nulos que são ortogonais a todos os vetores de .

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem subespaços próprios onde vetores não nulos são ortogonais a todos os seus vetores.

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Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: dada por
Descreva o subespaço em cada item:
Seja o eixo num sistema de coordenadas de .
Seja:
(a) Verifique se A é inversível.
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