Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço , então .
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: A afirmação diz que se um vetor é ortogonal a todos os vetores de um subespaço , então deve ser o vetor zero, . Nosso conteúdo aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser ortogonal a um subespaço e as propriedades do espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a um subespaço. Um vetor é ortogonal a um subespaço se ele é ortogonal a todos os vetores em . Ou seja, para qualquer vetor , o produto interno .
Passo 3
Agora, consideremos que é um subespaço. Um subespaço sempre contém o vetor zero, . Então, se é ortogonal a cada vetor de , particularmente, deve ser ortogonal ao vetor zero. Vamos analisar isso.
Passo 4
O produto interno de qualquer vetor com o vetor zero é sempre zero, ou seja, . Isso já está de acordo com a condição dada, mas não nos informa muito. Precisamos explorar mais a fundo.
Passo 5
Vamos considerar que se é ortogonal a todos os vetores de , incluindo todos os seus vetores geradores. Se é um subespaço que, por exemplo, é todo o espaço vetorial, então o único vetor que é ortogonal a todos os vetores nesse espaço é o vetor zero. Mas, se for um subespaço menor, pode haver outros vetores ortogonais a ele além do zero.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que "se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço , então " nem sempre é verdadeira. Depende do subespaço . Se for o próprio espaço vetorial, então sim, apenas o vetor zero satisfaz essa condição. Porém, se for um subespaço próprio, existem vetores não nulos que são ortogonais a todos os vetores de .
Resposta
A afirmação é falsa, pois existem subespaços próprios onde vetores não nulos são ortogonais a todos os seus vetores.