Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se u for ortogonal a cada vetor de algum subespaço W, então u=0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: A afirmação diz que se um vetor u é ortogonal a todos os vetores de um subespaço W, então u deve ser o vetor zero, 0. Nosso conteúdo aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser ortogonal a um subespaço e as propriedades do espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a um subespaço. Um vetor u é ortogonal a um subespaço W se ele é ortogonal a todos os vetores em W. Ou seja, para qualquer vetor w in W, o produto interno u cdot w = 0.

Passo 3

Agora, consideremos que W é um subespaço. Um subespaço sempre contém o vetor zero, 0. Então, se u é ortogonal a cada vetor de W, particularmente, u deve ser ortogonal ao vetor zero. Vamos analisar isso.

Passo 4

O produto interno de qualquer vetor com o vetor zero é sempre zero, ou seja, u cdot 0 = 0. Isso já está de acordo com a condição dada, mas não nos informa muito. Precisamos explorar mais a fundo.

Passo 5

Vamos considerar que se u é ortogonal a todos os vetores de W, incluindo todos os seus vetores geradores. Se W é um subespaço que, por exemplo, é todo o espaço vetorial, então o único vetor que é ortogonal a todos os vetores nesse espaço é o vetor zero. Mas, se W for um subespaço menor, pode haver outros vetores ortogonais a ele além do zero.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que "se u for ortogonal a cada vetor de algum subespaço W, então u = 0" nem sempre é verdadeira. Depende do subespaço W. Se W for o próprio espaço vetorial, então sim, apenas o vetor zero satisfaz essa condição. Porém, se W for um subespaço próprio, existem vetores não nulos que são ortogonais a todos os vetores de W.

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem subespaços próprios onde vetores não nulos são ortogonais a todos os seus vetores.

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