Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever em palavras a superfície de nível da função e calcular essa superfície. Isso está ligado ao conteúdo de geometria analítica, mais especificamente às superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma superfície de nível e como identificar a equação dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Em matemática, uma superfície de nível para uma função de três variáveis como é o conjunto de todos os pontos que fazem a função assumir um valor constante . Ou seja, é a solução da equação .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Queremos encontrar todos os pontos que satisfazem:
Essa equação se parece muito com a da esfera.

Passo 4

Sabemos que a equação geral de uma esfera com centro em e raio é:
Comparando com a nossa equação, vemos que o centro da esfera está em e o raio é .

Passo 5

Então, a superfície de nível da função é uma esfera com centro no ponto e raio igual à raiz quadrada de , ou seja, .

Resposta

A superfície de nível de é uma esfera centrada no ponto com raio igual a .

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial
a)
b)
Rpta: a) , b)
Resolva por variação de parâmetros
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b) , c) , d)
Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário .
a)
b) ,
c)
Rpta: a) , b) , c)
Mantendo esse pagamento mensal, dê uma estimativa da quantidade que poderíamos tomar emprestada se o juro caísse para .