Resolva o problema de valor inicial
a)
b)
Rpta: a)
, b)
a)
b)
Rpta: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de equações lineares de segunda ordem. Precisamos conhecer métodos para resolver EDOs homogêneas e particulares, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 5:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, encontramos a solução geral que é a soma da solução da homogênea (
) e da solução particular (
).
Passo 3
Solução da Equação Homogênea (
):
A equação homogênea associada é:
A equação homogênea associada é:
A equação característica é:
Fatorando:
Então, as raízes são
e
. Assim, a solução homogênea é:
Passo 4
Solução Particular (
):
Para encontrar , vamos supor uma solução da forma:
Para encontrar
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para
Para termos constantes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Solução Geral e Aplicação das Condições Iniciais:
A solução geral é:
A solução geral é:
Aplicando
:
Aplicando
:
Primeiro, calculamos :
Primeiro, calculamos
Então, em
:
Logo,
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b):
Essa também é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos encontrar a solução geral somando a solução da homogênea (
) e a solução particular (
).
Passo 7
Solução da Equação Homogênea (
):
A equação homogênea associada é:
A equação homogênea associada é:
A equação característica é:
Calculando as raízes:
Então, a solução homogênea é:
Passo 8
Solução Particular (
):
Dado o termo do lado direito , vamos supor uma solução particular da forma:
Dado o termo do lado direito
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Solução Geral e Aplicação das Condições Iniciais:
A solução geral é:
A solução geral é:
Aplicando
:
Calculando
:
Em
:
Substituindo
:
Resposta
a)
b)
b)
Exercícios relacionados
Resolva por variação de parâmetros
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
Esboce a curva de nível
.
Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .
Calcule a superfície de nível de
Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário
.
a)
b) ,
c)
Rpta: a) , b)
, c)
a)
b)
c)
Rpta: a)