Resolva o problema de valor inicial
a) 5 y'' + y' = -6 x, y(0) = 0, y'(0) = -10
b) y'' + 4y' + 5y = 35e^(-4x), y(0) = -3, y'(0) = 1
Rpta: a) y = -200 + 200 * e^(-x / 5) - 3 * x^2 + 30 * x, b) y = -10 * e^(-2 * x) * cos(x) + 9 * e^(-2 * x) * sen(x) + 7 * e^(-4 * x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de equações lineares de segunda ordem. Precisamos conhecer métodos para resolver EDOs homogêneas e particulares, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 5:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, encontramos a solução geral que é a soma da solução da homogênea ( ) e da solução particular ( ).

Passo 3

Solução da Equação Homogênea ( ):
A equação homogênea associada é:
A equação característica é:
Fatorando:
Então, as raízes são e . Assim, a solução homogênea é:

Passo 4

Solução Particular ( ):
Para encontrar , vamos supor uma solução da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para termos constantes:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Solução Geral e Aplicação das Condições Iniciais:
A solução geral é:
Aplicando :
Aplicando :
Primeiro, calculamos :
Então, em :
Logo, .

Passo 6

Agora, vamos para a parte b):
Essa também é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos encontrar a solução geral somando a solução da homogênea ( ) e a solução particular ( ).

Passo 7

Solução da Equação Homogênea ( ):
A equação homogênea associada é:
A equação característica é:
Calculando as raízes:
Então, a solução homogênea é:

Passo 8

Solução Particular ( ):
Dado o termo do lado direito , vamos supor uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então, a solução particular é:

Passo 9

Solução Geral e Aplicação das Condições Iniciais:
A solução geral é:
Aplicando :
Calculando :
Em :
Substituindo :

Resposta

a)
b)

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