Resolva por variação de parâmetros
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
, b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
Passo 1
Olha só, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de variação de parâmetros. Essa é uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A equação característica dessa homogênea é
, que tem raízes complexas
. Isso significa que a solução geral da homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o método de variação de parâmetros. Primeiro, vamos simplificar o lado direito usando uma identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos encontrar a solução particular para cada termo no lado direito separadamente.
Para o termo constante
:
Assumimos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante. Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto,
, ou seja:
Para o termo
:
Assumimos uma solução particular da forma
, onde
e
são constantes. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esse termo é:
Passo 5
A solução particular total
é a soma das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Esboce a curva de nível
.
Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
Resolva o problema de valor inicial
a)
b)
Rpta: a) , b)
a)
b)
Rpta: a)
Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .
Calcule a superfície de nível de