Resolva por variação de parâmetros
a) y'' + y = cos^2(x)
b) y'' + 3y' + 2y = 1 / (1 + e^x)
c) y'' + 3y' + 2y = sen(e^x)
d) y'' + 2y' + y = e^(-x) ln(x)
Rpta: a) y = c1 cos(x) + c2 sen(x) + 1/2 - 1/6 cos(2x), b) y = c1 * e^(-x) + c2 * e^(-2 * x) + (e^(-x) + e^(-2 * x)) * ln(1 + e^(x)), c) y = c1 * e^(-2 * x) + c2 * e^(-x) - e^(-2 * x) * sen(e^x), d) y = c1 * e^(-x) + c2 * x * e^(-x) - (1/2) * x^2 * e^(-x) * ln(x) - (3/4) * x^2 * e^(-x)

Passo 1

Olha só, vamos resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Essa é uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A equação característica dessa homogênea é , que tem raízes complexas . Isso significa que a solução geral da homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método de variação de parâmetros. Primeiro, vamos simplificar o lado direito usando uma identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos encontrar a solução particular para cada termo no lado direito separadamente.
Para o termo constante :
Assumimos uma solução particular da forma , onde é uma constante. Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto, , ou seja:
Para o termo :
Assumimos uma solução particular da forma , onde e são constantes. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esse termo é:

Passo 5

A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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