Descreva a superfície de nível em palavras. .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para descrever a superfície de nível da função . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados a superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma superfície de nível e como manipular a equação dada para interpretar sua forma geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma superfície de nível. Em matemática, uma superfície de nível para uma função de três variáveis é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Basicamente, é como “fatiar” a função em diferentes alturas para ver a sua forma.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , vamos igualar a função a uma constante :
Agora, vamos resolver essa equação para :
Essa é a equação geral de uma superfície de nível para a nossa função.

Passo 4

Observando a equação , percebemos que ela representa um paraboloide. Um paraboloide é uma superfície que tem a forma de uma parábola se cortarmos ao longo de qualquer plano que contenha o eixo (paraboloide circular), e um círculo se cortarmos perpendicularmente ao eixo .

Passo 5

A constante na equação desloca a superfície para cima ou para baixo no eixo . Se for positivo, o paraboloide se move para cima; se for negativo, ele se move para baixo. Isso significa que diferentes valores de geram diferentes “fatias” da superfície de nível.

Resposta

A superfície de nível da função é um paraboloide que se abre para cima, definido pela equação . Essa superfície tem a forma de uma parábola em qualquer plano que contenha o eixo e círculos em planos horizontais, deslocando-se verticalmente de acordo com o valor da constante .

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
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Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d)
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
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Se , onde , encontre .