Descreva a superfície de nível em palavras.
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para descrever a superfície de nível da função
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados a superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma superfície de nível e como manipular a equação dada para interpretar sua forma geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma superfície de nível. Em matemática, uma superfície de nível para uma função de três variáveis
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Basicamente, é como “fatiar” a função em diferentes alturas para ver a sua forma.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, vamos igualar a função a uma constante
:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Essa é a equação geral de uma superfície de nível para a nossa função.
Passo 4
Observando a equação
, percebemos que ela representa um paraboloide. Um paraboloide é uma superfície que tem a forma de uma parábola se cortarmos ao longo de qualquer plano que contenha o eixo
(paraboloide circular), e um círculo se cortarmos perpendicularmente ao eixo
.
Passo 5
A constante
na equação
desloca a superfície para cima ou para baixo no eixo
. Se
for positivo, o paraboloide se move para cima; se
for negativo, ele se move para baixo. Isso significa que diferentes valores de
geram diferentes “fatias” da superfície de nível.
Resposta
A superfície de nível da função
é um paraboloide que se abre para cima, definido pela equação
. Essa superfície tem a forma de uma parábola em qualquer plano que contenha o eixo
e círculos em planos horizontais, deslocando-se verticalmente de acordo com o valor da constante
.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
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Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d)
(d)
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
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Se
, onde
, encontre
.