Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d) f(x) = x * e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os extremos relativos, pontos de inflexão, concavidade, assíntotas e fazer o esboço do gráfico da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas primeira e segunda, testes de derivadas para identificar extremos e concavidade, e analisar possíveis assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de para identificar possíveis extremos. A derivada primeira nos ajuda a determinar onde a função tem taxas de variação crescentes ou decrescentes.
A função dada é:
Usando a regra do produto para derivar, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada primeira é zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos relativos.
Igualando a zero:
O fator nunca é zero, então:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, vamos usar a derivada segunda. A derivada segunda nos ajuda a entender a concavidade da função.
Calculando a derivada segunda:
Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada segunda no ponto crítico :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, portanto, é um ponto de máximo relativo.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de inflexão e as regiões onde a função é côncava para cima ou para baixo. Pontos de inflexão ocorrem onde a derivada segunda muda de sinal.
Igualando a zero:
Novamente, nunca é zero, então:
Vamos analisar o sinal de em torno de :
  • Para , digamos , (côncava para baixo).
  • Para , digamos , (côncava para cima).
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
São linhas onde a função tende ao infinito. Observando , não há valores de que fazem a função não ser definida ou tender ao infinito. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
Analisamos o comportamento de quando tende a e .
  • Para :
Então, há uma assíntota horizontal em .
  • Para :
Isso tende a , então não há assíntota horizontal.

Passo 8

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Ponto de máximo relativo em .
  • Ponto de inflexão em .
  • Assíntota horizontal em .
  • A função é côncava para baixo em e côncava para cima em .
O gráfico inicia em quando , aumenta até o máximo em , decresce passando pelo ponto de inflexão em e se aproxima da assíntota horizontal conforme .

Resposta

O ponto de máximo relativo da função ocorre em com . Há um ponto de inflexão em , a função é côncava para baixo em e concava para cima em . A função possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais.

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