Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os extremos relativos, pontos de inflexão, concavidade, assíntotas e fazer o esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas primeira e segunda, testes de derivadas para identificar extremos e concavidade, e analisar possíveis assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
para identificar possíveis extremos. A derivada primeira nos ajuda a determinar onde a função tem taxas de variação crescentes ou decrescentes.
A função dada é:
Usando a regra do produto para derivar, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada primeira é zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos relativos.
Igualando
a zero:
O fator
nunca é zero, então:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, vamos usar a derivada segunda. A derivada segunda nos ajuda a entender a concavidade da função.
Calculando a derivada segunda:
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 5
Agora, avaliamos a derivada segunda no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, portanto,
é um ponto de máximo relativo.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de inflexão e as regiões onde a função é côncava para cima ou para baixo. Pontos de inflexão ocorrem onde a derivada segunda muda de sinal.
Igualando
a zero:
Novamente,
nunca é zero, então:
Vamos analisar o sinal de
em torno de
:
- Para
, digamos , (côncava para baixo). - Para
, digamos , (côncava para cima).
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
São linhas onde a função tende ao infinito. Observando
, não há valores de
que fazem a função não ser definida ou tender ao infinito. Portanto, não há assíntotas verticais.
São linhas
Assíntotas horizontais:
Analisamos o comportamento de quando
tende a
e
.
Analisamos o comportamento de
- Para
:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
- Para
:
Isso tende a
, então não há assíntota horizontal.
Passo 8
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Ponto de máximo relativo em
. - Ponto de inflexão em
. - Assíntota horizontal em
. - A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em .
O gráfico inicia em
quando
, aumenta até o máximo em
, decresce passando pelo ponto de inflexão em
e se aproxima da assíntota horizontal
conforme
.
Resposta
O ponto de máximo relativo da função
ocorre em
com
. Há um ponto de inflexão em
, a função é côncava para baixo em
e concava para cima em
. A função possui uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais.