Se f(x) = 3 + x^2 + tan(pi x / 2), onde -1 < x < 1, encontre f^(-1)(3).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá a função no intervalo . O que a gente precisa fazer é encontrar o valor de , ou seja, descobrir qual valor de faz com que . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções inversas e resolver uma equação envolvendo a função tangente.

Passo 2

Primeiro passo é igualar a função a 3:
Isso porque queremos que .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 3 de ambos os lados:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 4

Vamos analisar a equação . Sabemos que é sempre positivo ou zero, e a tangente de varia dependendo de . Precisamos encontrar um valor de dentro do intervalo que faça com que a soma desses dois termos seja zero.

Passo 5

Vamos testar :
Bingo! satisfaz a equação.

Passo 6

Para ter certeza de que não há outras soluções no intervalo, vamos pensar que conforme se aproxima de 1 ou -1, a função tangente tende ao infinito positivo ou negativo, o que não cancelaria o . Portanto, a única solução no intervalo dado é .

Resposta

Portanto, .

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