Se
, onde
, encontre
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá a função
no intervalo
. O que a gente precisa fazer é encontrar o valor de
, ou seja, descobrir qual valor de
faz com que
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções inversas e resolver uma equação envolvendo a função tangente.
Passo 2
Primeiro passo é igualar a função a 3:
Isso porque queremos que
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 3 de ambos os lados:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 4
Vamos analisar a equação
. Sabemos que
é sempre positivo ou zero, e a tangente de
varia dependendo de
. Precisamos encontrar um valor de
dentro do intervalo
que faça com que a soma desses dois termos seja zero.
Passo 5
Vamos testar
:
Bingo!
satisfaz a equação.
Passo 6
Para ter certeza de que não há outras soluções no intervalo, vamos pensar que conforme
se aproxima de 1 ou -1, a função tangente tende ao infinito positivo ou negativo, o que não cancelaria o
. Portanto, a única solução no intervalo dado é
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Descreva a superfície de nível em palavras.
.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Calcule as derivadas abaixo:
(e)
(e)