Descreva as superfícies de nível da função.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente descreva as superfícies de nível da função . Isso está ligado à geometria analítica, onde estudamos como as funções se comportam no espaço. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se formam a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Em funções de três variáveis como essa, uma superfície de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Ou seja, estamos fixando o valor da função e vendo como os pontos se distribuem no espaço.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Isso significa que estamos procurando todos os pontos que fazem essa equação verdadeira para um valor específico de .

Passo 4

Essa equação representa uma superfície conhecida como elipsoide. Uma elipsoide é uma figura tridimensional parecida com uma esfera, mas com eixos de comprimentos diferentes. No nosso caso, os coeficientes de , e indicam como a elipsoide está alongada em cada direção.

Passo 5

Vamos detalhar os eixos da elipsoide:
  • Eixo x: O coeficiente é 1, então o comprimento do semi-eixo é .
  • Eixo y: O coeficiente é 3, então o comprimento do semi-eixo é .
  • Eixo z: O coeficiente é 5, então o comprimento do semi-eixo é .
Isso mostra que a elipsoide é mais “estendida” nas direções dos eixos com menores coeficientes.

Resposta

As superfícies de nível da função são elipsoides centradas na origem, definidas pela equação , onde é uma constante positiva.

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