Descreva as superfícies de nível da função.
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente descreva as superfícies de nível da função
. Isso está ligado à geometria analítica, onde estudamos como as funções se comportam no espaço. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se formam a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Em funções de três variáveis como essa, uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Ou seja, estamos fixando o valor da função e vendo como os pontos se distribuem no espaço.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Isso significa que estamos procurando todos os pontos
que fazem essa equação verdadeira para um valor específico de
.
Passo 4
Essa equação representa uma superfície conhecida como elipsoide. Uma elipsoide é uma figura tridimensional parecida com uma esfera, mas com eixos de comprimentos diferentes. No nosso caso, os coeficientes de
,
e
indicam como a elipsoide está alongada em cada direção.
Passo 5
Vamos detalhar os eixos da elipsoide:
- Eixo x: O coeficiente é 1, então o comprimento do semi-eixo é
. - Eixo y: O coeficiente é 3, então o comprimento do semi-eixo é
. - Eixo z: O coeficiente é 5, então o comprimento do semi-eixo é
.
Isso mostra que a elipsoide é mais “estendida” nas direções dos eixos com menores coeficientes.
Resposta
As superfícies de nível da função
são elipsoides centradas na origem, definidas pela equação
, onde
é uma constante positiva.
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