Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO;
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, linear e não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea e .
A fórmula para a solução particular é:
onde e é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Calculando o Wronskiano:
[
W(t) =
= -e^{2t} e^{-t} - 2e^{2t} e^{-t} = -3e^{t}
]
Agora, substituindo na fórmula:
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes ou fórmulas padrão, resultando em:
Passo 4
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDO: