Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, linear e não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea e .
A fórmula para a solução particular é:
onde e é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Calculando o Wronskiano:

[
W(t) =


= -e^{2t} e^{-t} - 2e^{2t} e^{-t} = -3e^{t}
]
Agora, substituindo na fórmula:
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes ou fórmulas padrão, resultando em:

Passo 4

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Descreva as superfícies de nível da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Resolva a EDO , de duas formas diferentes:
Pelo método dos coeficientes a determinar