Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, o conteúdo principal envolve equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolveremos:
Para isso, montamos a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 3, tentaremos uma solução particular da forma:
A razão do é para evitar termos que já estão na solução homogênea. Substituímos na EDO e determinamos os coeficientes .

Passo 5

Após substituir e igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores de . Supondo que encontramos os valores:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:

Exercícios relacionados

Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;
Descreva as superfícies de nível da função.
Resolva a EDO , de duas formas diferentes:
Pelo método dos coeficientes a determinar
A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (a) Prove que fazedno a substituição a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes: