Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, o conteúdo principal envolve equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolveremos:
Para isso, montamos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 3, tentaremos uma solução particular da forma:
A razão do
é para evitar termos que já estão na solução homogênea. Substituímos
na EDO e determinamos os coeficientes
.
Passo 5
Após substituir e igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores de
. Supondo que encontramos os valores:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular: