Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer o mapa de contorno da função , mostrando várias curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de gráficos tridimensionais e como a função se comporta em diferentes pontos do plano . Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função tem um valor constante. Ou seja, para cada curva, , onde é uma constante específica. Nosso objetivo é encontrar várias dessas curvas para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de para traçar as curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher , , , e . Esses valores vão nos ajudar a visualizar como a função se comporta em diferentes níveis.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para cada valor de escolhido:
  1. Para :
    Essa é uma linha reta.
  2. Para :
    São duas linhas paralelas à .
  3. Para :
    Novamente, duas linhas paralelas, mais afastadas.
  4. Para :
    Mais duas linhas ainda mais afastadas.

Passo 5

Com essas equações, podemos desenhar as curvas de nível no plano . Cada par de linhas representa uma curva de nível para cada valor de . Quanto maior o valor de , mais afastadas as linhas ficam do centro.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em uma série de linhas retas paralelas à reta . Para diferentes valores de , temos as seguintes curvas de nível:
  • Para :
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e
Essas curvas mostram como a função varia com diferentes níveis de no plano .

Exercícios relacionados

Determine e esboce o domínio da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Descreva as superfícies de nível da função.