Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer o mapa de contorno da função
, mostrando várias curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de gráficos tridimensionais e como a função se comporta em diferentes pontos do plano
. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
tem um valor constante. Ou seja, para cada curva,
, onde
é uma constante específica. Nosso objetivo é encontrar várias dessas curvas para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores de
para traçar as curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher
,
,
, e
. Esses valores vão nos ajudar a visualizar como a função se comporta em diferentes níveis.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
para cada valor de
escolhido:
-
Para
: Essa é uma linha reta. -
Para
: São duas linhas paralelas à. -
Para
: Novamente, duas linhas paralelas, mais afastadas. -
Para
: Mais duas linhas ainda mais afastadas.
Passo 5
Com essas equações, podemos desenhar as curvas de nível no plano
. Cada par de linhas representa uma curva de nível para cada valor de
. Quanto maior o valor de
, mais afastadas as linhas ficam do centro.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em uma série de linhas retas paralelas à reta
. Para diferentes valores de
, temos as seguintes curvas de nível:
- Para
: - Para
: e - Para
: e - Para
: e
Essas curvas mostram como a função varia com diferentes níveis de
no plano
.
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Determine e esboce o domínio da função.
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Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Descreva as superfícies de nível da função.