Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função
. Isso significa que vamos desenhar várias curvas onde a função tem o mesmo valor. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como podemos encontrá-las para essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que curvas de nível são linhas no plano onde a função
é constante. Ou seja, para cada curva de nível,
, onde
é uma constante específica.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
em termos de
e
, para então poder traçar as curvas.
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Então, para cada valor de
, a equação da curva de nível será
.
Passo 5
Agora, escolhemos alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. Por exemplo, vamos considerar
,
, e
. Assim, teremos as seguintes equações:
Essas curvas são exponenciais decrescentes, cada uma sendo uma versão escalada da outra.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em curvas exponenciais da forma
para diferentes valores de
. Por exemplo, para
,
e
, as curvas são
,
e
, respectivamente.
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Descreva as superfícies de nível da função.
Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO
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