Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função . Isso significa que vamos desenhar várias curvas onde a função tem o mesmo valor. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como podemos encontrá-las para essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que curvas de nível são linhas no plano onde a função é constante. Ou seja, para cada curva de nível, , onde é uma constante específica.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de e , para então poder traçar as curvas.

Passo 4

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :
Então, para cada valor de , a equação da curva de nível será .

Passo 5

Agora, escolhemos alguns valores de para desenhar as curvas de nível. Por exemplo, vamos considerar , , e . Assim, teremos as seguintes equações:
Essas curvas são exponenciais decrescentes, cada uma sendo uma versão escalada da outra.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em curvas exponenciais da forma para diferentes valores de . Por exemplo, para , e , as curvas são , e , respectivamente.

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Determine e esboce o domínio da função.
Descreva as superfícies de nível da função.
Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;