Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
onde
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o integral de linha
é independente do caminho entre os pontos
e
. Se for independente, a gente avalia o integral; se não, mostramos dois caminhos diferentes com valores distintos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo conservativo em cálculo vetorial. Um campo vetorial é conservativo se o integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, só dos pontos finais. Para verificar isso, vamos precisar das derivadas parciais das funções que acompanham
e
.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que acompanham
e
no integral:
Essas funções formam o campo vetorial
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Se essas derivadas forem iguais, o campo é conservativo e o integral é independente do caminho.
Vamos calcular:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar.
Então, a função potencial é:
Passo 5
Finalmente, para avaliar o integral, usamos a função potencial nos pontos finais:
Calculando:
Então:
Resposta
O integral de linha é independente do caminho e seu valor é
.
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Seja
Encontre e
.
Encontre
Descreva as superfícies de nível da função:
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.