Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral. integralC(1-y e^-x) d x+e^-x d y onde C é qualquer caminho diferenciável entre os pontos (0,1) e(1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o integral de linha é independente do caminho entre os pontos e . Se for independente, a gente avalia o integral; se não, mostramos dois caminhos diferentes com valores distintos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo conservativo em cálculo vetorial. Um campo vetorial é conservativo se o integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, só dos pontos finais. Para verificar isso, vamos precisar das derivadas parciais das funções que acompanham e .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que acompanham e no integral:
Essas funções formam o campo vetorial .

Passo 3

Agora, para verificar se partial Ppartial y = partialpartial y (1 - y e^-x) = -e^-x é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
  • partial Qpartial x = partialpartial x (e^-x) = -e^-x
Se essas derivadas forem iguais, o campo é conservativo e o integral é independente do caminho.
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q tal que:
f(x, y) = integral (1 - y e^-x) dx = x + y e^-x + g(y)
Vamos encontrar partial fpartial y = e^-x + g'(y) = e^-x :
Integrando f(x, y) = x + y e^-x em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar para simplificar.
Então, a função potencial é:

Passo 5

Finalmente, para avaliar o integral, usamos a função potencial nos pontos finais:
integralC (1 - y e^-x) dx + e^-x dy = f(1, 2) - f(0, 1)
Calculando:
f(1, 2) = 1 + 2 e^-1
f(0, 1) = 0 + 1 e^0 = 1
Então:
integralC (1 - y e^-x) dx + e^-x dy = (1 + 2 e^-1) - 1 = 2 e^-1

Resposta

O integral de linha é independente do caminho e seu valor é .

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