Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral. onde é qualquer caminho diferenciável entre os pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o integral de linha é independente do caminho entre os pontos e . Se for independente, a gente avalia o integral; se não, mostramos dois caminhos diferentes com valores distintos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo conservativo em cálculo vetorial. Um campo vetorial é conservativo se o integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, só dos pontos finais. Para verificar isso, vamos precisar das derivadas parciais das funções que acompanham e .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que acompanham e no integral:
Essas funções formam o campo vetorial .

Passo 3

Agora, para verificar se é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Se essas derivadas forem iguais, o campo é conservativo e o integral é independente do caminho.
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar :
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar para simplificar.
Então, a função potencial é:

Passo 5

Finalmente, para avaliar o integral, usamos a função potencial nos pontos finais:
Calculando:
Então:

Resposta

O integral de linha é independente do caminho e seu valor é .

Exercícios relacionados

Seja
Encontre e .
Descreva as superfícies de nível da função:
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais. , onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.