Descreva as superfícies de nível da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as superfícies de nível da função
. Isso está ligado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, especialmente usando equações de segundo grau. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como diferentes valores constantes na função
afetam o formato dessas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Nesse caso, temos
.
Passo 3
Agora, vamos analisar diferentes valores para
e ver como isso muda a forma da superfície:
-
Quando
: A equação fica. Podemos reescrever como . Isso é a equação de um hiperboloide de uma folha, que tem a forma de uma sela se vista de certos ângulos e se estende infinitamente em todas as direções. -
Quando
: A equação se torna. Podemos fatorar isso como , que representa um cone duplo. Esse cone tem duas partes que se estendem em direções opostas, como duas pontas. -
Quando
: Aqui, a equação é. Rearranjando, temos , que pode ser escrita como . Isso descreve um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies separadas que se abrem em direções opostas ao longo do eixo .
Passo 4
Resumindo:
- Para
: Hiperboloide de uma folha. - Para
: Cone duplo. - Para
: Hiperboloide de duas folhas.
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Hiperboloide de uma folha quando
. - Cone duplo quando
. - Hiperboloide de duas folhas quando
.
Exercícios relacionados
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produz curvas de nível, trace o mapa de contorno da mesma função e compare.
Esboce o gráfico da função.
Esboce o gráfico da função.
Esboce o gráfico da função.