Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso envolve o conteúdo de funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida e como ela se comporta nesse domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função
está definida. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Vamos rearranjar essa desigualdade para facilitar a visualização:
Dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
A última expressão representa uma elipse no plano
com semi-eixos de comprimento 1 em
e 2 em
. Então, a função
está definida dentro e sobre essa elipse.
Passo 5
Agora, vamos interpretar a função
:
Isso significa que para cada ponto
dentro da elipse, o valor de
corresponde à altura do gráfico acima do plano
.
Passo 6
Para visualizar o gráfico, podemos pensar em uma forma geométrica. A equação se assemelha à equação de um elipsoide, mas como temos somente a raiz quadrada, estamos lidando com apenas a parte superior desse elipsoide. Portanto, o gráfico será uma superfície parabólica arredondada acima da elipse definida.
Passo 7
Resumo: O gráfico de
é uma superfície que existe acima de uma elipse no plano
. Dentro da elipse
, a função define uma espécie de “cúpula” arredondada.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície tridimensional em forma de cúpula que fica acima da elipse
no plano
.
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Determine e esboce o domínio da função.
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produz curvas de nível, trace o mapa de contorno da mesma função e compare.
Descreva as superfícies de nível da função.