A Figura abaixo mostra as curvas de nível da temperatura da superfície do oceano, de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que é aproximadamente igual a , pergunta-se:
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura na superfície do oceano:
O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradientes. Precisaremos calcular as derivadas parciais de em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto e, finalmente, encontrar a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto, que é dada pela magnitude do vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos avaliar essas derivadas no ponto . Como o enunciado não especifica as coordenadas de e geralmente está no centro quando não há figura disponível, vamos assumir que .
Substituindo e nas derivadas:

Passo 4

O vetor gradiente de no ponto é dado por:
A taxa máxima de variação da temperatura é a magnitude desse vetor gradiente. Então, vamos calcular:

Resposta

A taxa máxima de variação da temperatura em é igual a 1.

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional das seguintes funções: , no ponto , na direção do vetor que une a
Descreva as superfícies de nível da função . Além disso, esboce as superfícies de nível para , e .
Encontre o comprimento do arco das curvas a seguir:
, para .
Encontre o comprimento da hélice circular , do ponto ao ponto .