Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z) = y^2 + z^2

Passo 1

Vamos lá! O exercício está pedindo para a gente descrever as superfícies de nível da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, especificamente de como visualizar essas funções no espaço tridimensional. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é uma superfície de nível e como identificá-la matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Imagine que você tem uma função que depende de três variáveis, como . Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos que tornam a função igual a uma constante . Matemática fica assim:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa equação nos diz para quais valores de e a função será igual a .

Passo 4

Vamos analisar essa equação:
  • Se , a equação representa um círculo no plano com raio .
  • No espaço tridimensional, isso significa que para cada valor de , a superfície de nível é um cilindro circular com raio que se estende ao longo do eixo , porque não aparece na equação.
  • Se , a equação se torna , o que só é verdadeiro quando e . Nesse caso, a “superfície” é apenas o eixo em si.

Resposta

As superfícies de nível da função são cilindros circulares de raio paralelos ao eixo para qualquer constante positiva . Quando , a superfície de nível é o próprio eixo .

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^2 tg(x z)
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito grandes? O que acontece quando (x, y) se aproxima da origem?
f(x, y) = (x + y) / (x^2 + y^2)
Faça o gráfico da função
& f(x, y)=raizx^2+y^2 & f(x, y)=e^raizx^2+y^2 & f(x, y)=ln raizx^2+y^2 & f(x, y)=sen(raizx^2+y^2) & f(x, y)=1raizx^2+y^2
e
Em geral, se g(t) é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
f(x, y)=g(raizx^2+y^2)
a partir do gráfico de g ?
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2 y2 x^2+y^2