Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z) = y^2 + z^2

Passo 1

Vamos lá! O exercício está pedindo para a gente descrever as superfícies de nível da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, especificamente de como visualizar essas funções no espaço tridimensional. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é uma superfície de nível e como identificá-la matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Imagine que você tem uma função que depende de três variáveis, como . Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos que tornam a função igual a uma constante . Matemática fica assim:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa equação nos diz para quais valores de e a função será igual a .

Passo 4

Vamos analisar essa equação:
  • Se , a equação representa um círculo no plano com raio .
  • No espaço tridimensional, isso significa que para cada valor de , a superfície de nível é um cilindro circular com raio que se estende ao longo do eixo , porque não aparece na equação.
  • Se , a equação se torna , o que só é verdadeiro quando e . Nesse caso, a “superfície” é apenas o eixo em si.

Resposta

As superfícies de nível da função são cilindros circulares de raio paralelos ao eixo para qualquer constante positiva . Quando , a superfície de nível é o próprio eixo .

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