Descreva as superfícies de nível da função.
Passo 1
Vamos lá! O exercício está pedindo para a gente descrever as superfícies de nível da função
. Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, especificamente de como visualizar essas funções no espaço tridimensional. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é uma superfície de nível e como identificá-la matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Imagine que você tem uma função que depende de três variáveis, como
. Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos
que tornam a função igual a uma constante
. Matemática fica assim:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa equação nos diz para quais valores de
e
a função
será igual a
.
Passo 4
Vamos analisar essa equação:
- Se
, a equação representa um círculo no plano com raio . - No espaço tridimensional, isso significa que para cada valor de
, a superfície de nível é um cilindro circular com raio que se estende ao longo do eixo , porque não aparece na equação. - Se
, a equação se torna , o que só é verdadeiro quando e . Nesse caso, a “superfície” é apenas o eixo em si.
Resposta
As superfícies de nível da função
são cilindros circulares de raio
paralelos ao eixo
para qualquer constante positiva
. Quando
, a superfície de nível é o próprio eixo
.
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e
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