Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando
e
se tornam muito grandes? O que acontece quando
se aproxima da origem?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa usar um computador para traçar o gráfico da função
em diferentes domínios e perspectivas. Além disso, precisamos comentar sobre como a função se comporta quando
e
ficam muito grandes e quando
se aproxima da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções de duas variáveis e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre gráficos de funções de duas variáveis. Diferente das funções de uma variável que têm gráficos em uma linha, as funções de duas variáveis têm gráficos em três dimensões. Isso significa que para cada par
, temos um ponto
no espaço.
Para traçar o gráfico dessa função no computador, podemos usar programas como o GeoGebra, MATLAB ou Python com bibliotecas como Matplotlib. Esses programas conseguem criar representações visuais que nos ajudam a entender melhor como a função se comporta em diferentes regiões.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os limites da função. Um limite nos diz o que acontece com a função quando as variáveis se aproximam de certos valores. No nosso caso, queremos analisar dois cenários:
- Quando
e se tornam muito grandes (tendem ao infinito). - Quando
se aproxima da origem (tende a ).
Vamos começar com o primeiro cenário.
Passo 4
Quando
e
se tornam muito grandes:
Vamos analisar o limite de
quando
e
tendem ao infinito. Para simplificar, podemos observar que tanto o numerador quanto o denominador crescem, mas o denominador cresce muito mais rápido porque está ao quadrado.
Matematicamente, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, o limite é 0. Isso significa que quando
e
ficam muito grandes, a função se aproxima de 0.
Passo 5
Quando
se aproxima da origem:
Agora vamos ver o que acontece quando
se aproxima de
. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o que nos deixa com uma indeterminação
. Para resolver isso, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, e
tende a 0.
Substituindo na função:
À medida que
tende a 0, o denominador tende a 0, o que faz com que
tenda ao infinito, dependendo do ângulo
. Isso significa que a função não tem um limite definido quando
se aproxima da origem e pode crescer sem limite.
Resposta
Quando
e
se tornam muito grandes, a função
se aproxima de 0. No entanto, quando
se aproxima da origem, a função tende a infinito, dependendo da direção de aproximaç��o. Portanto, o gráfico mostra que a função decai para zero nas extremidades e cresce sem limite perto da origem.
Exercícios relacionados
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Esboce o gráfico da função.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Descreva as superfícies de nível da função.