Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2 y2 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber qual é o limite da função x^2+sen^2 y2 x^2+y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite é o mesmo vindo de diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função no numerador e no denominador. Sabemos que, para valores pequenos de y, a função seno pode ser aproximada por sen y approx y. Então, sen^2 y approx y^2. Assim, nossa função fica aproximadamente x^2 + y^22x^2 + y^2 perto de (0,0).

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtenhamos o mesmo valor. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro, consideremos o caminho onde y = 0. Substituindo na função, temos:
x^2 + sen^2(0)2x^2 + 0^2 = x^22x^2 = 12
Então, quando nos aproximamos de (0,0) pelo eixo x, o limite é 12.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde x = 0. Substituindo na função, temos:
0^2 + sen^2 y2 cdot 0^2 + y^2 = sen^2 yy^2
Sabemos que limy to 0 sen yy = 1, então:
limy to 0 sen^2 yy^2 = 1
Assim, pelo eixo y, o limite é 1.

Passo 6

Observamos que ao nos aproximar de (0,0) pelo eixo x, o limite é 12, e pelo eixo y, é 1. Como esses valores são diferentes, isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Faça o gráfico da função
& f(x, y)=raizx^2+y^2 & f(x, y)=e^raizx^2+y^2 & f(x, y)=ln raizx^2+y^2 & f(x, y)=sen(raizx^2+y^2) & f(x, y)=1raizx^2+y^2
e
Em geral, se g(t) é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
f(x, y)=g(raizx^2+y^2)
a partir do gráfico de g ?
Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z) = y^2 + z^2
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2+3 x y+4 y^23 x^2+5 y^2
Use um computador para investigar a família de superfícies
z = (a x^2 + b y^2) e^(-x^2 - y^2)
Como a forma do gráfico depende dos números a e b ?