Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber qual é o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite é o mesmo vindo de diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função no numerador e no denominador. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
. Então,
. Assim, nossa função fica aproximadamente
perto de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtenhamos o mesmo valor. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro, consideremos o caminho onde
. Substituindo na função, temos:
Então, quando nos aproximamos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função, temos:
Sabemos que
, então:
Assim, pelo eixo
, o limite é
.
Passo 6
Observamos que ao nos aproximar de
pelo eixo
, o limite é
, e pelo eixo
, é
. Como esses valores são diferentes, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.
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