Faça o gráfico da função
& f(x, y)=raizx^2+y^2 & f(x, y)=e^raizx^2+y^2 & f(x, y)=ln raizx^2+y^2 & f(x, y)=sen(raizx^2+y^2) & f(x, y)=1raizx^2+y^2
e
Em geral, se g(t) é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
f(x, y)=g(raizx^2+y^2)
a partir do gráfico de g ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é fazer o gráfico de várias funções que dependem de duas variáveis, e . Essas funções têm a forma , onde é uma função de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no espaço 3D e como usar o gráfico de para ajudar a desenhar .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Essa função calcula a distância do ponto até a origem no plano . Geometricamente, isso significa que para cada ponto no plano, será igual a sua distância da origem. O gráfico dessa função é uma superfície em forma de cone que se estende para cima a partir da origem.

Passo 3

Agora, vamos para . Aqui, estamos exponenciando a distância do ponto até a origem. À medida que e se afastam da origem, cresce exponencialmente. O gráfico dessa função também é uma superfície simétrica, mas dessa vez ela se expande mais rapidamente do que o cone anterior, criando uma espécie de “funil” que se abre para cima.

Passo 4

A próxima função é . O logaritmo natural da distância. Essa função só está definida quando , ou seja, em todos os pontos exceto na origem. O gráfico dessa função cresce lentamente à medida que nos afastamos da origem e tende a menos infinito quando nos aproximamos dela. Visualmente, é uma superfície que se aproxima de na origem e cresce suavemente para cima à medida que nos afastamos.

Passo 5

Vamos ver agora . Aqui, estamos aplicando a função seno à distância do ponto à origem. Isso resulta em uma superfície ondulada que alterna entre valores positivos e negativos à medida que aumenta. Imagine círculos concêntricos ao redor da origem, onde o valor de oscila como uma onda senoidal.

Passo 6

Por último, temos . Essa função é o inverso da distância ao ponto . Conforme nos afastamos da origem, diminui, aproximando-se de zero. Perto da origem, cresce sem limite, criando uma superfície que se aproxima de na origem e se aplanando à medida que nos afastamos.

Passo 7

Agora, de forma geral, se é uma função de uma variável, como podemos obter o gráfico de a partir do gráfico de ? A chave aqui é perceber que é uma função radialmente simétrica. Isso significa que seu gráfico em 3D pode ser obtido girando o gráfico de ao redor do eixo .
Por exemplo, se você tem o gráfico de no plano , para obter , imagine girar esse gráfico 360 graus em torno do eixo . Cada valor de corresponde a uma distância , e para cada ponto nessa distância, você tem o valor correspondente de .

Resposta

Pronto! Agora você tem os gráficos das funções especificadas e entende como, de maneira geral, construir o gráfico de a partir do gráfico de , utilizando a simetria radial e a rotação ao redor do eixo .

Exercícios relacionados

Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z) = y^2 + z^2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^2 tg(x z)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2 y2 x^2+y^2
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2+3 x y+4 y^23 x^2+5 y^2