Faça o gráfico da função
e
Em geral, se
é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
a partir do gráfico de
?
Em geral, se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é fazer o gráfico de várias funções que dependem de duas variáveis,
e
. Essas funções têm a forma
, onde
é uma função de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no espaço 3D e como usar o gráfico de
para ajudar a desenhar
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Essa função calcula a distância do ponto
até a origem no plano
. Geometricamente, isso significa que para cada ponto no plano,
será igual a sua distância da origem. O gráfico dessa função é uma superfície em forma de cone que se estende para cima a partir da origem.
Passo 3
Agora, vamos para
. Aqui, estamos exponenciando a distância do ponto
até a origem. À medida que
e
se afastam da origem,
cresce exponencialmente. O gráfico dessa função também é uma superfície simétrica, mas dessa vez ela se expande mais rapidamente do que o cone anterior, criando uma espécie de “funil” que se abre para cima.
Passo 4
A próxima função é
. O logaritmo natural da distância. Essa função só está definida quando
, ou seja, em todos os pontos exceto na origem. O gráfico dessa função cresce lentamente à medida que nos afastamos da origem e tende a menos infinito quando nos aproximamos dela. Visualmente, é uma superfície que se aproxima de
na origem e cresce suavemente para cima à medida que nos afastamos.
Passo 5
Vamos ver agora
. Aqui, estamos aplicando a função seno à distância do ponto à origem. Isso resulta em uma superfície ondulada que alterna entre valores positivos e negativos à medida que
aumenta. Imagine círculos concêntricos ao redor da origem, onde o valor de
oscila como uma onda senoidal.
Passo 6
Por último, temos
. Essa função é o inverso da distância ao ponto
. Conforme nos afastamos da origem,
diminui, aproximando-se de zero. Perto da origem,
cresce sem limite, criando uma superfície que se aproxima de
na origem e se aplanando à medida que nos afastamos.
Passo 7
Agora, de forma geral, se
é uma função de uma variável, como podemos obter o gráfico de
a partir do gráfico de
? A chave aqui é perceber que
é uma função radialmente simétrica. Isso significa que seu gráfico em 3D pode ser obtido girando o gráfico de
ao redor do eixo
.
Por exemplo, se você tem o gráfico de
no plano
, para obter
, imagine girar esse gráfico 360 graus em torno do eixo
. Cada valor de
corresponde a uma distância
, e para cada ponto nessa distância, você tem o valor correspondente de
.
Resposta
Pronto! Agora você tem os gráficos das funções especificadas e entende como, de maneira geral, construir o gráfico de
a partir do gráfico de
, utilizando a simetria radial e a rotação ao redor do eixo
.
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