Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^2 tg(x z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite de uma função de três variáveis quando elas se aproximam de certos valores. O limite que estamos analisando é:
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^2 tan(x z)
Isso faz parte do conteúdo de cálculo de limites em funções multivariáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular o limite de expressões envolvendo funções trigonométricas e exponenciais quando as variáveis se aproximam de valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função. Temos , que é uma função exponencial, e , que é a tangente do produto de e .

Passo 3

Vamos ver o que acontece com cada parte quando se aproxima de .
Para :
  • Quando se aproxima de , se aproxima de .
  • Então, se aproxima de .

Passo 4

Agora, para :
  • Quando se aproxima de e se aproxima de , o produto se aproxima de .
  • Sabemos que , porque a tangente de radianos é igual a zero.

Passo 5

Finalmente, juntando as duas partes:
  • e^theta^2 times 0 = 0 se aproxima de .
  • se aproxima de .
Então, multiplicando esses resultados:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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