Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^2 tg(x z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite de uma função de três variáveis quando elas se aproximam de certos valores. O limite que estamos analisando é:
lim (x, y, z) (pi, theta, 1) e^y^2 tan(x z)
Isso faz parte do conteúdo de cálculo de limites em funções multivariáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular o limite de expressões envolvendo funções trigonométricas e exponenciais quando as variáveis se aproximam de valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função. Temos , que é uma função exponencial, e , que é a tangente do produto de e .

Passo 3

Vamos ver o que acontece com cada parte quando se aproxima de .
Para :
  • Quando se aproxima de , se aproxima de .
  • Então, se aproxima de .

Passo 4

Agora, para :
  • Quando se aproxima de e se aproxima de , o produto se aproxima de .
  • Sabemos que , porque a tangente de radianos é igual a zero.

Passo 5

Finalmente, juntando as duas partes:
  • e^theta^2 times 0 = 0 se aproxima de .
  • se aproxima de .
Então, multiplicando esses resultados:

Resposta

O limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados

Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito grandes? O que acontece quando (x, y) se aproxima da origem?
f(x, y) = (x + y) / (x^2 + y^2)
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y) = raiz(x) + y
Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z) = y^2 + z^2
Faça o gráfico da função
& f(x, y)=raizx^2+y^2 & f(x, y)=e^raizx^2+y^2 & f(x, y)=ln raizx^2+y^2 & f(x, y)=sen(raizx^2+y^2) & f(x, y)=1raizx^2+y^2
e
Em geral, se g(t) é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
f(x, y)=g(raizx^2+y^2)
a partir do gráfico de g ?