Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite de uma função de três variáveis quando elas se aproximam de certos valores. O limite que estamos analisando é:
Isso faz parte do conteúdo de cálculo de limites em funções multivariáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular o limite de expressões envolvendo funções trigonométricas e exponenciais quando as variáveis se aproximam de valores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da função. Temos
, que é uma função exponencial, e
, que é a tangente do produto de
e
.
Passo 3
Vamos ver o que acontece com cada parte quando
se aproxima de
.
Para
:
- Quando
se aproxima de , se aproxima de . - Então,
se aproxima de .
Passo 4
Agora, para
:
- Quando
se aproxima de e se aproxima de , o produto se aproxima de . - Sabemos que
, porque a tangente de radianos é igual a zero.
Passo 5
Finalmente, juntando as duas partes:
-
se aproxima de . -
se aproxima de .
Então, multiplicando esses resultados:
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando
e
se tornam muito grandes? O que acontece quando
se aproxima da origem?
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Descreva as superfícies de nível da função.
Faça o gráfico da função
e
Em geral, se é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
Em geral, se
a partir do gráfico de
?