Descreva as superfícies de nível de
para os valores de
dados
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever as superfícies de nível da função
para os valores de
,
e
. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam com diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como
, é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Essas superfícies nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 3
Vamos começar com
. Substituindo na função, temos:
Aqui, percebemos que estamos somando dois quadrados (
e
), que sempre resultam em valores iguais ou maiores que zero. Portanto, não existe nenhum par
que satisfaça essa equação com
. Assim, para
, não há superfície de nível.
Passo 4
Agora, vamos para
. Substituindo na função:
Essa equação representa um círculo no plano
com raio
. Como
não aparece na equação, isso significa que esse círculo se estende infinitamente ao longo do eixo
, formando um cilindro circular com raio 2.
Passo 5
Por fim, para
:
Assim como no caso anterior, essa é a equação de um círculo no plano
, mas agora com raio
. Novamente, como
não está presente, temos um cilindro circular que se estende infinitamente ao longo do eixo
, mas desta vez com raio 3.
Resposta
As superfícies de nível de
são:
- Para
: Não existe superfície. - Para
: Um cilindro circular de raio 2 paralelo ao eixo . - Para
: Um cilindro circular de raio 3 paralelo ao eixo .