Descreva as superfícies de nível de f para os valores de k dados
f(x, y, z) = x^2 + y^2 em k = -1, 4, 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever as superfícies de nível da função para os valores de , e . Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam com diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como , é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Essas superfícies nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 3

Vamos começar com . Substituindo na função, temos:
Aqui, percebemos que estamos somando dois quadrados ( e ), que sempre resultam em valores iguais ou maiores que zero. Portanto, não existe nenhum par que satisfaça essa equação com . Assim, para , não há superfície de nível.

Passo 4

Agora, vamos para . Substituindo na função:
Essa equação representa um círculo no plano com raio . Como não aparece na equação, isso significa que esse círculo se estende infinitamente ao longo do eixo , formando um cilindro circular com raio 2.

Passo 5

Por fim, para :
Assim como no caso anterior, essa é a equação de um círculo no plano , mas agora com raio . Novamente, como não está presente, temos um cilindro circular que se estende infinitamente ao longo do eixo , mas desta vez com raio 3.

Resposta

As superfícies de nível de são:
  • Para : Não existe superfície.
  • Para : Um cilindro circular de raio 2 paralelo ao eixo .
  • Para : Um cilindro circular de raio 3 paralelo ao eixo .

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