Determine integral duplaS F d S, (ou seja, o fluxo de F através de S) onde F(x, y, z)=x y^2 i+x^2 y j+y k e S é a superfície da região delimitada pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=2-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial. A questão pede para determinar o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = x y^2 i + x^2 y j + y k através da superfície S, que é delimitada pelos parabolóides z = x^2 + y^2 e z = 2 - x^2 - y^2. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que facilita o cálculo de fluxos através de superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente, isso é expresso como:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso à nossa F:
P = x y^2, Q = x^2 y, R = y
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = y^2, partial Qpartial y = x^2, partial Rpartial z = 0
Então,
nabla cdot F = y^2 + x^2 + 0 = x^2 + y^2

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla integral triplaV (x^2 + y^2) , dV sobre o volume V delimitado pelos parabolóides z = x^2 + y^2 e z = 2 - x^2 - y^2. Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. Nessas coordenadas, x^2 + y^2 = r^2 e dV = r , dz , dr , dtheta.

Passo 5

Determinar os limites de integração é essencial. As duas superfícies se interceptam quando:
x^2 + y^2 = 2 - x^2 - y^2 implies 2(x^2 + y^2) = 2 implies x^2 + y^2 = 1 implies r^2 = 1 implies r = 1
Portanto, r varia de 0 a 1, theta varia de 0 a 2pi, e z varia de r^2 a 2 - r^2.

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla:
integral triplaV (x^2 + y^2) , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^2 - r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
r^2 cdot r = r^3

Passo 7

Vamos integrar em ordem: primeiro em z, depois em r, e por último em theta.
Integrando em z:
integralr^2^2 - r^2 r^3 , dz = r^3 cdot [ z ]r^2^2 - r^2 = r^3 (2 - r^2 - r^2) = r^3 (2 - 2r^2) = 2r^3 - 2r^5

Passo 8

Agora, integramos em r:
integral0^1 (2r^3 - 2r^5) , dr = 2 integral0^1 r^3 , dr - 2 integral0^1 r^5 , dr
Calculando as integrais:
2 [ r^44 ]0^1 - 2 [ r^66 ]0^1 = 2 ( 14 - 0 ) - 2 ( 16 - 0 ) = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Passo 9

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 16 , dtheta = 16 cdot (2pi - 0) = pi3

Resposta

O fluxo de F através de S é dfracpi3.

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