Determine
, (ou seja, o fluxo de
através de
) onde
e
é a superfície da região delimitada pelos parabolóides
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial. A questão pede para determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é delimitada pelos parabolóides
e
. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que facilita o cálculo de fluxos através de superfícies fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso à nossa
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla
sobre o volume
delimitado pelos parabolóides
e
. Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessas coordenadas,
e
.
Passo 5
Determinar os limites de integração é essencial. As duas superfícies se interceptam quando:
Portanto,
varia de
a
,
varia de
a
, e
varia de
a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando o integrando:
Passo 7
Vamos integrar em ordem: primeiro em
, depois em
, e por último em
.
Integrando em
:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Calculando as integrais:
Passo 9
Por fim, integramos em
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.