Descreva as superfícies de nível de f para os valores de k dados
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z em k = -1, 3, 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever as superfícies de nível da função para os valores de , e . Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como , é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Essencialmente, é como “fatiar” a função em diferentes valores de para ver como ela se comporta.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Para encontrar as superfícies de nível, igualamos a função a cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Vamos rearranjar cada equação para isolar :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Observamos que cada uma dessas equações representa um paraboloide. Um paraboloide tem a forma geral , onde é uma constante que determina a posição do paraboloide ao longo do eixo .

Passo 6

Para cada valor de :
  1. : O paraboloide está mais baixo no eixo porque .
  2. : O paraboloide está acima do primeiro, com .
  3. : O paraboloide está ainda mais alto, com .

Passo 7

Então, para cada , temos uma superfície de nível que é um paraboloide deslocado ao longo do eixo . Quanto maior o valor de , mais o paraboloide se desloca para cima.

Resposta

As superfícies de nível da função para , e são paraboloides da forma . Cada paraboloide está deslocado ao longo do eixo de acordo com o valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados