Descreva as superfícies de nível de
para os valores de
dados
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever as superfícies de nível da função
para os valores de
,
e
. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como
, é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Essencialmente, é como “fatiar” a função em diferentes valores de
para ver como ela se comporta.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Para encontrar as superfícies de nível, igualamos a função a cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Vamos rearranjar cada equação para isolar
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Observamos que cada uma dessas equações representa um paraboloide. Um paraboloide tem a forma geral
, onde
é uma constante que determina a posição do paraboloide ao longo do eixo
.
Passo 6
Para cada valor de
:
-
: O paraboloide está mais baixo no eixo porque . -
: O paraboloide está acima do primeiro, com . -
: O paraboloide está ainda mais alto, com .
Passo 7
Então, para cada
, temos uma superfície de nível que é um paraboloide deslocado ao longo do eixo
. Quanto maior o valor de
, mais o paraboloide se desloca para cima.
Resposta
As superfícies de nível da função
para
,
e
são paraboloides da forma
. Cada paraboloide está deslocado ao longo do eixo
de acordo com o valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
: