Descreva todas as possíveis matrizes 2 x 2 na forma escalonada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descrever todas as possíveis matrizes 2x2 que estão na forma escalonada. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre formas escalonadas de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma forma escalonada e como aplicá-la em matrizes 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz na forma escalonada. Uma matriz está na forma escalonada se ela satisfaz as seguintes condições:
Todas as linhas nulas estão na parte de baixo da matriz.
O primeiro número diferente de zero (conhecido como pivô) de cada linha está à direita do pivô da linha acima.
Os elementos abaixo dos pivôs são zeros.
Passo 3
Agora, vamos focar nas matrizes 2x2. Uma matriz 2x2 tem duas linhas e duas colunas, podendo ser representada assim:
Queremos encontrar todas as combinações possíveis de e que fazem essa matriz estar na forma escalonada.
Passo 4
Vamos analisar caso a caso:
Primeira linha com pivô na primeira posição ():
Para estar na forma escalonada, o elemento na segunda linha, primeira coluna, deve ser zero.
A segunda linha pode ter qualquer valor, já que o pivô da segunda linha (se existir) estará na segunda coluna.
Assim, as matrizes ficam:onde e pode ser qualquer número (incluindo zero).
Primeira linha nula ( e ):
Nesse caso, a segunda linha pode ter um pivô na primeira ou segunda coluna.
Mas, para estar na forma escalonada, só pode haver um pivô na segunda linha, segunda coluna.
Portanto, as matrizes ficam:onde .
Passo 5
Então, juntando tudo, todas as possíveis matrizes 2x2 na forma escalonada são:
Matriz com :
onde é qualquer número não nulo, e são quaisquer números.