Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de :
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos verificar se o conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero forma um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de subespaço vetorial e derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, observe que se a derivada de um polinômio é zero, isso significa que o polinômio é constante. Então, o conjunto em questão é o conjunto de todos os polinômios constantes em .

Passo 3

Para verificar se esse conjunto é um subespaço, precisamos checar três condições:
  1. O conjunto contém o vetor zero.
  2. O conjunto é fechado sob adição.
  3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Condição 1: O vetor zero em é o polinômio zero, que é constante. Portanto, o conjunto contém o vetor zero.

Passo 5

Condição 2: Se pegarmos dois polinômios constantes e , a soma também será um polinômio constante. Assim, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 6

Condição 3: Se multiplicarmos um polinômio constante por um escalar , o resultado também será constante. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero forma um subespaço de .

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