Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de
:
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Precisamos verificar se o conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero forma um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de subespaço vetorial e derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, observe que se a derivada de um polinômio é zero, isso significa que o polinômio é constante. Então, o conjunto em questão é o conjunto de todos os polinômios constantes em
.
Passo 3
Para verificar se esse conjunto é um subespaço, precisamos checar três condições:
- O conjunto contém o vetor zero.
- O conjunto é fechado sob adição.
- O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Condição 1: O vetor zero em
é o polinômio zero, que é constante. Portanto, o conjunto contém o vetor zero.
Passo 5
Condição 2: Se pegarmos dois polinômios constantes
e
, a soma
também será um polinômio constante. Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 6
Condição 3: Se multiplicarmos um polinômio constante
por um escalar
, o resultado
também será constante. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero forma um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Seja
um homomorfismo de anéis e
, então a.r
e
para todo
.
Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de
:
© O conjunto de todos os polinômios que se anulam em .
© O conjunto de todos os polinômios que se anulam em
Seja
e
Mostre que
é um ideal à esquerda de
, mas não é um ideal à direita de
.
Descreva todos os ideais do anel
. Tais ideais são os único ideais de
? Justifique.