Descreva todos os ideais de e todos os ideais de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir todos os ideais de e . Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente de Teoria dos Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ideais em um anel como e como identificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, que seguem certas propriedades. No caso de , estamos falando dos números inteiros módulo , ou seja, os restos da divisão por .
Passo 3
Agora, ideais são subconjuntos especiais dentro de um anel que têm algumas propriedades específicas. Em simples palavras, um ideal é um conjunto de números que, além de ser fechado sob adição, também absorve a multiplicação por qualquer elemento do anel.
Passo 4
No caso de , todos os ideais são ideais principais, o que significa que cada ideal é gerado por um único elemento. Especificamente, os ideais de são da forma , onde é um divisor de . Isso porque, em , gerar um ideal com inclui todos os múltiplos de dentro de .
Passo 5
Vamos aplicar isso para . Primeiro, encontramos todos os divisores de , que são , , e . Assim, os ideais de serão:
: que contém apenas o elemento .
: que contém .
: que contém .
: que, na verdade, é todo o conjunto .
Passo 6
Fazendo o mesmo para , encontramos que os divisores de são , , e . Portanto, os ideais de serão:
: que contém apenas o elemento .
: que contém .
: que contém .
: que é todo o conjunto .
Resposta
Os ideais de são , , e . Já os ideais de são , , e .