Verifique se .. com as operações de adição usual de inteiros e multiplicação definida por , para quaisquer ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se é um ideal do anel com as operações de adição usual e multiplicação definida por para quaisquer . Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais em anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel , um subconjunto é chamado de ideal se:
é um subanel de , ou seja:
é não vazio.
Para todo , .
Para todo e , .
Passo 3
Vamos verificar se satisfaz essas condições no anel com multiplicação definida por .
Passo 4
1. é não vazio:
Claro que sim, por exemplo, .
2. Fechamento sob adição:
Se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , onde , então:
Como é um inteiro, também está em . Então, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Absorção pela multiplicação do anel:
Precisamos verificar se para todo e , temos .
No nosso caso, a multiplicação é definida como . E está em porque .
Então, independentemente dos valores de e , .
Passo 6
Como todas as condições para ser um ideal são satisfeitas, podemos concluir que é realmente um ideal do anel com as operações dadas.
Resposta
Sim, é um ideal do anel com a multiplicação definida por .