Se A=(ll0 & 1 x & 0) e B=(ll1 & 0 0 & y), para que valores de x e y é verdadeira a igualdade A B=B A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e e precisa descobrir para quais valores de e a multiplicação delas na ordem é igual à multiplicação na ordem . Isso envolve operações com matrizes e a propriedade de comutatividade, que, no caso de matrizes, nem sempre é verdadeira. Vamos precisar multiplicar as matrizes e igualar os resultados para encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A = 0 & 1 x & 0 , B = 1 & 0 0 & y e AB = (0 cdot 1 + 1 cdot 0) & (0 cdot 0 + 1 cdot y) (x cdot 1 + 0 cdot 0) & (x cdot 0 + 0 cdot y) = 0 & y x & 0 na ordem . A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Vamos fazer isso passo a passo:
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as matrizes BA = 1 & 0 0 & y 0 & 1 x & 0 e BA = (1 cdot 0 + 0 cdot x) & (1 cdot 1 + 0 cdot 0) (0 cdot 0 + y cdot x) & (0 cdot 1 + y cdot 0) = 0 & 1 xy & 0 na ordem :
Fazendo a multiplicação:

Passo 4

Agora que temos AB = 0 & y x & 0 , BA = 0 & 1 xy & 0 e , vamos igualar as duas matrizes para encontrar as condições necessárias para que :
Igualando os elementos correspondentes:
  1. Posição (1,1): (já está igual)
  2. Posição (1,2):
  3. Posição (2,1):
  4. Posição (2,2): (já está igual)

Passo 5

Vamos resolver as equações que obtivemos:
  1. De x = x cdot 1 implies x = x , já temos que deve ser 1.
  2. De , substituímos :
Isso significa que essa equação é sempre verdadeira para qualquer valor de . Não há restrição adicional sobre .

Resposta

Para que y = 1 e x in R , deve ser igual a 1 e pode ser qualquer número real. Ou seja:

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Classificar e resolver os sistemas:
c) x+4 y+6 z & =0 -32-6 y-9 z & =0
Verifique se (I,+,. ) e um ideal do anel (A,+,. ) em cada um dos seguintes casos:
I=3 Z, A=Q
Descreva todos os ideais de Z6 e todos os ideais de Z8.
Para as matrizes A=(ll2 & -1 4 & -2) e B=(ll0 & 2 2 & 0), mostre que
(b) A^2=02 times 2.