Descreva a trajetória de um ponto móvel P, cujo deslocamento é expresso por: f(t) = (2 + t) i + (2 + 3t) j + (4 + 2t) k, t ≥ -2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um ponto móvel cuja posição no espaço é dada por uma função vetorial de deslocamento:
Isso significa que, para cada valor de , temos as coordenadas de no espaço tridimensional. Nosso objetivo é descrever a trajetória desse ponto, ou seja, determinar o caminho que percorre à medida que varia.

Passo 2

Vamos começar quebrando a função vetorial em suas componentes individuais para facilitar a análise. A função nos dá as coordenadas , e de em termos de :
Essas são as equações paramétricas que descrevem a posição de em cada instante .

Passo 3

Para descrever a trajetória sem depender do parâmetro , precisamos eliminar das equações. Vamos resolver uma das equações para e substituir nas outras. Vamos usar a equação de :
Agora, substituímos nas equações de e :
Agora temos e expressos em termos de , eliminando assim o parâmetro .

Passo 4

Com as relações e , podemos descrever a trajetória de como um conjunto de pontos no espaço que satisfazem essas duas equações. Isso representa uma reta no espaço tridimensional, pois ambas as equações são lineares em relação a .

Resposta

A trajetória do ponto é uma reta no espaço tridimensional descrita pelas equações:
Essa reta passa pelo ponto e tem a direção determinada pelo vetor .

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