Descreva a trajetória de um ponto móvel
, cujo deslocamento é expresso por:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto móvel
cuja posição no espaço é dada pela função de deslocamento
para
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de vetores posição e trajetórias no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos básicos de vetor, funções trigonométricas e parametrização de curvas no espaço.
Passo 2
A trajetória de um ponto no espaço é a curva que ele descreve conforme varia o tempo
. Aqui, a função de deslocamento
nos dá as coordenadas
do ponto
em cada instante
. Vamos escrever cada componente separadamente:
Passo 3
Para descrever a trajetória, queremos eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação entre
,
e
. Observando as primeiras duas componentes:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá a equação de um círculo no plano
com raio 1.
Passo 4
A terceira componente
mostra que, conforme
aumenta,
também aumenta de forma linear. Isso indica que o ponto está se movendo para cima no eixo
à medida que percorre o círculo no plano
.
Passo 5
Juntando as informações, a trajetória do ponto
é uma hélice circular ascendente. Isso significa que o ponto está descrevendo um círculo no plano
enquanto se desloca linearmente ao longo do eixo
. A equação paramétrica da hélice é dada por:
Resposta
A trajetória do ponto
é uma hélice circular ascendente com raio 1 no plano
e deslocamento linear no eixo
, descrita pelas equações paramétricas
,
e
para
.
Exercícios relacionados
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com lados possui pelo menos 2 triângulos exteriores.
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com
Figura 1: Octógono triangulado e três triângulos exteriores.
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo , se
, então
.
(b) Para todo
A equação vetorial
representa uma circunferência. Determine a correspondente equação cartesiana.
Descreva a trajetória de um ponto móvel
, cujo deslocamento é expresso por:
.