Descreva a trajetória de um ponto móvel P, cujo deslocamento é expresso por: f(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + t/4 * k, t ≥ 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto móvel P cuja posição no espaço é dada pela função de deslocamento para t ≥ 0. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de vetores posição e trajetórias no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos básicos de vetor, funções trigonométricas e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

A trajetória de um ponto no espaço é a curva que ele descreve conforme varia o tempo t. Aqui, a função de deslocamento f(t) nos dá as coordenadas do ponto P em cada instante t. Vamos escrever cada componente separadamente:

Passo 3

Para descrever a trajetória, queremos eliminar o parâmetro t e encontrar uma relação entre x, y e z. Observando as primeiras duas componentes:
Sabemos que , então:
Isso nos dá a equação de um círculo no plano xy com raio 1.

Passo 4

A terceira componente mostra que, conforme t aumenta, z também aumenta de forma linear. Isso indica que o ponto está se movendo para cima no eixo z à medida que percorre o círculo no plano xy.

Passo 5

Juntando as informações, a trajetória do ponto P é uma hélice circular ascendente. Isso significa que o ponto está descrevendo um círculo no plano xy enquanto se desloca linearmente ao longo do eixo z. A equação paramétrica da hélice é dada por:

Resposta

A trajetória do ponto P é uma hélice circular ascendente com raio 1 no plano xy e deslocamento linear no eixo z, descrita pelas equações paramétricas , e para t ≥ 0.

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