Obter equações paramétricas da circunferência no plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma circunferência dada pela equação no plano . O conteúdo que vamos usar aqui inclui geometria analítica, especificamente sobre circunferências e equações paramétricas. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para encontrar o centro e o raio da circunferência e, em seguida, usar essas informações para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência de modo que fiquemos com algo mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Para encontrar o centro e o raio, precisamos completar o quadrado para os termos de e .
Passo 3
Vamos agrupar os termos de e :
Agora, completamos o quadrado para cada grupo.
Para :
Coeficiente de é -6. Metade disso é -3.
Elevamos ao quadrado: .
Adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Fica:
Para :
Coeficiente de é -4. Metade disso é -2.
Elevamos ao quadrado: .
Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Fica:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Adicionamos 13 em ambos os lados:
Passo 5
Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência a partir da equação padrão:
Comparando com nossa equação:
Centro
Raio
Passo 6
Com o centro e o raio em mãos, podemos escrever as equações paramétricas da circunferência no plano . As equações paramétricas de uma circunferência no plano são: