Obter equações paramétricas da circunferência
no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma circunferência dada pela equação
no plano
. O conteúdo que vamos usar aqui inclui geometria analítica, especificamente sobre circunferências e equações paramétricas. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para encontrar o centro e o raio da circunferência e, em seguida, usar essas informações para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência de modo que fiquemos com algo mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Para encontrar o centro e o raio, precisamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Passo 3
Vamos agrupar os termos de
e
:
Agora, completamos o quadrado para cada grupo.
Para
:
- Coeficiente de
é -6. Metade disso é -3. - Elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Fica:
Para
:
- Coeficiente de
é -4. Metade disso é -2. - Elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Fica:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Adicionamos 13 em ambos os lados:
Passo 5
Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência a partir da equação padrão:
Comparando com nossa equação:
- Centro
- Raio
Passo 6
Com o centro e o raio em mãos, podemos escrever as equações paramétricas da circunferência no plano
. As equações paramétricas de uma circunferência no plano
são:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas da circunferência são: