Obter equações paramétricas da circunferência x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 no plano z = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma circunferência dada pela equação no plano . O conteúdo que vamos usar aqui inclui geometria analítica, especificamente sobre circunferências e equações paramétricas. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para encontrar o centro e o raio da circunferência e, em seguida, usar essas informações para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência de modo que fiquemos com algo mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Para encontrar o centro e o raio, precisamos completar o quadrado para os termos de e .

Passo 3

Vamos agrupar os termos de e :
Agora, completamos o quadrado para cada grupo.
Para :
  1. Coeficiente de é -6. Metade disso é -3.
  2. Elevamos ao quadrado: .
  3. Adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Fica:
Para :
  1. Coeficiente de é -4. Metade disso é -2.
  2. Elevamos ao quadrado: .
  3. Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Fica:

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Adicionamos 13 em ambos os lados:

Passo 5

Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência a partir da equação padrão:
Comparando com nossa equação:
  • Centro
  • Raio

Passo 6

Com o centro e o raio em mãos, podemos escrever as equações paramétricas da circunferência no plano . As equações paramétricas de uma circunferência no plano são:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas da circunferência são:

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