Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo n in N, se n ≥ 10, então 2^n > n^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural maior ou igual a 10, é maior que . Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Isso é importante porque na indução matemática começamos verificando se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor que consideramos.
Calculando:
Como , o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos passar para o passo indutivo. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número , ou seja, que . Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos provar que, se é verdadeiro, então também é verdadeiro.
Sabemos que:
Usando a hipótese de indução , temos:

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que .
Expandindo :
Então, queremos provar que:
Subtraindo de ambos os lados:
Para , podemos ver que cresce muito mais rápido que os outros termos, portanto essa desigualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo , .

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