Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo
, se
, então
.
(b) Para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural
maior ou igual a 10,
é maior que
. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
. Isso é importante porque na indução matemática começamos verificando se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor que consideramos.
Calculando:
Como
, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos passar para o passo indutivo. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
, ou seja, que
. Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos provar que, se
é verdadeiro, então
também é verdadeiro.
Sabemos que:
Usando a hipótese de indução
, temos:
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que
.
Expandindo
:
Então, queremos provar que:
Subtraindo
de ambos os lados:
Para
, podemos ver que
cresce muito mais rápido que os outros termos, portanto essa desigualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
,
.