Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com
lados possui pelo menos 2 triângulos exteriores.
Figura 1: Octógono triangulado e três triângulos exteriores.
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando indução, que em qualquer triangulação de um polígono com
lados, sempre teremos pelo menos dois triângulos exteriores. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é uma triangulação, a diferença entre triângulos interiores e exteriores, e como aplicar o princípio da indução matemática para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma triangulação de um polígono. É basicamente desenhar diagonais dentro do polígono de forma que essas diagonais não se cruzem e cada região formada seja um triângulo. Isso divide o polígono em vários triângulos sem sobreposição.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar os tipos de triângulos:
- Triângulo Interior: Tem no máximo um dos seus lados como lado do polígono.
- Triângulo Exterior: Tem dois ou mais lados como lados do polígono.
A questão quer que a gente prove que sempre há pelo menos dois triângulos exteriores em qualquer triangulação de um polígono com
lados.
Passo 4
Vamos usar indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos principais:
- Passo Base: Verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
(no caso, ). - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e então provar que ela também é verdadeira para .
Passo 5
Passo Base (
):
Um quadrilátero (polígono de 4 lados) pode ser triangulado de uma única maneira, traçando uma das duas diagonais possíveis. Cada triangulação resultará em dois triângulos, e ambos terão dois lados do quadrilátero. Portanto, existem dois triângulos exteriores, o que confirma a afirmação para
.
Passo 6
Passo Indutivo:
Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um polígono com
lados, ou seja, em qualquer triangulação de um polígono de
lados, existem pelo menos dois triângulos exteriores.
Agora, queremos provar que a afirmação também vale para um polígono com
lados. Para isso, consideramos um polígono de
lados e escolhemos um dos triângulos exteriores (garantidos pela hipótese de indução). Ao remover esse triângulo, o polígono resultante terá
lados e, pela hipótese, terá pelo menos dois triângulos exteriores. Portanto, o polígono original de
lados também terá pelo menos dois triângulos exteriores.
Resposta
Prontinho! Usando indução, mostramos que qualquer triangulação de um polígono com
lados possui pelo menos dois triângulos exteriores.