Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com lados possui pelo menos 2 triângulos exteriores.
Figura 1: Octógono triangulado e três triângulos exteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando indução, que em qualquer triangulação de um polígono com lados, sempre teremos pelo menos dois triângulos exteriores. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é uma triangulação, a diferença entre triângulos interiores e exteriores, e como aplicar o princípio da indução matemática para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma triangulação de um polígono. É basicamente desenhar diagonais dentro do polígono de forma que essas diagonais não se cruzem e cada região formada seja um triângulo. Isso divide o polígono em vários triângulos sem sobreposição.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar os tipos de triângulos:
  • Triângulo Interior: Tem no máximo um dos seus lados como lado do polígono.
  • Triângulo Exterior: Tem dois ou mais lados como lados do polígono.
A questão quer que a gente prove que sempre há pelo menos dois triângulos exteriores em qualquer triangulação de um polígono com lados.

Passo 4

Vamos usar indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos principais:
  1. Passo Base: Verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de (no caso, ).
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum e então provar que ela também é verdadeira para .

Passo 5

Passo Base ( ):
Um quadrilátero (polígono de 4 lados) pode ser triangulado de uma única maneira, traçando uma das duas diagonais possíveis. Cada triangulação resultará em dois triângulos, e ambos terão dois lados do quadrilátero. Portanto, existem dois triângulos exteriores, o que confirma a afirmação para .

Passo 6

Passo Indutivo:
Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um polígono com lados, ou seja, em qualquer triangulação de um polígono de lados, existem pelo menos dois triângulos exteriores.
Agora, queremos provar que a afirmação também vale para um polígono com lados. Para isso, consideramos um polígono de lados e escolhemos um dos triângulos exteriores (garantidos pela hipótese de indução). Ao remover esse triângulo, o polígono resultante terá lados e, pela hipótese, terá pelo menos dois triângulos exteriores. Portanto, o polígono original de lados também terá pelo menos dois triângulos exteriores.

Resposta

Prontinho! Usando indução, mostramos que qualquer triangulação de um polígono com lados possui pelo menos dois triângulos exteriores.

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