Descreva as várias situações nas quais uma função não é diferenciável. Ilustre-as com figuras.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descrever as várias situações em que uma função não é diferenciável. Para isso, vamos revisar o que é uma derivada e o que significa uma função ser diferenciável. Vamos precisar falar sobre continuidade, pontos angulosos, e comportamentos da função que impedem a existência da derivada.

Passo 2

Primeiro, uma função é diferenciável em um ponto se a derivada dela existe nesse ponto. Isso significa que a função tem uma inclinação bem definida ali, ou seja, dá para traçar uma tangente à curva nesse ponto. Mas nem toda função que é contínua é diferenciável, então vamos ver onde podem rolar problemas.

Passo 3

1. Ponto de Descontinuidade: Se a função tem uma quebra, salto ou ponto onde ela não está ligada de forma contínua, ela não será diferenciável nesse ponto. Por exemplo, imagine uma função que salta do valor 1 para 2 de repente. Não dá para ter uma derivada lá porque a função não está “ligada”.

Passo 4

2. Canto ou Ponto Agudo: Mesmo que a função seja contínua, se ela tiver um canto ou um ângulo agudo, a derivada não existe nesse ponto. Um exemplo clássico é a função valor absoluto . Ela tem um canto em , onde a derivada pela esquerda é -1 e pela direita é 1. Como os limites não coincidem, a derivada não existe ali.

Passo 5

3. Tangente Vertical: Se a função tem uma inclinação vertical em algum ponto, a derivada nesse ponto tende ao infinito, ou seja, não existe. Por exemplo, a função tem uma tangente vertical em , então não é diferenciável ali.

Passo 6

4. Oscilações Infinitas: Em alguns pontos, a função pode oscilar de forma tão intensa que a derivada não consegue ser definida. Um exemplo é quando se aproxima de 0. As oscilações tornam impossível definir uma tangente única nesse ponto.

Passo 7

5. Comportamento Assimptótico: Se a função se aproxima de uma linha ou curva de uma maneira que impede a definição de uma derivada no ponto de interesse, ela não será diferenciável ali. Isso está relacionado ao comportamento extremo da função próximo ao ponto.

Resposta

Então, resumindo, uma função não é diferenciável em:
  1. Pontos de Descontinuidade: Onde a função não está ligada.
  2. Cantinhos ou Pontos Agudos: Onde a função muda abruptamente de direção.
  3. Tangentes Verticais: Onde a inclinação da função é infinita.
  4. Oscilações Infinitas: Onde a função oscila sem parar próximo ao ponto.
  5. Comportamentos Assimptóticos Extremes: Onde o comportamento da função impede a definição de uma derivada.
Essas situações ilustram os principais casos em que a diferenciabilidade de uma função falha.

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