Descreva as várias situações nas quais uma função não é diferenciável. Ilustre-as com figuras.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descrever as várias situações em que uma função não é diferenciável. Para isso, vamos revisar o que é uma derivada e o que significa uma função ser diferenciável. Vamos precisar falar sobre continuidade, pontos angulosos, e comportamentos da função que impedem a existência da derivada.
Passo 2
Primeiro, uma função é diferenciável em um ponto se a derivada dela existe nesse ponto. Isso significa que a função tem uma inclinação bem definida ali, ou seja, dá para traçar uma tangente à curva nesse ponto. Mas nem toda função que é contínua é diferenciável, então vamos ver onde podem rolar problemas.
Passo 3
1. Ponto de Descontinuidade: Se a função tem uma quebra, salto ou ponto onde ela não está ligada de forma contínua, ela não será diferenciável nesse ponto. Por exemplo, imagine uma função que salta do valor 1 para 2 de repente. Não dá para ter uma derivada lá porque a função não está “ligada”.
Passo 4
2. Canto ou Ponto Agudo: Mesmo que a função seja contínua, se ela tiver um canto ou um ângulo agudo, a derivada não existe nesse ponto. Um exemplo clássico é a função valor absoluto
. Ela tem um canto em
, onde a derivada pela esquerda é -1 e pela direita é 1. Como os limites não coincidem, a derivada não existe ali.
Passo 5
3. Tangente Vertical: Se a função tem uma inclinação vertical em algum ponto, a derivada nesse ponto tende ao infinito, ou seja, não existe. Por exemplo, a função
tem uma tangente vertical em
, então não é diferenciável ali.
Passo 6
4. Oscilações Infinitas: Em alguns pontos, a função pode oscilar de forma tão intensa que a derivada não consegue ser definida. Um exemplo é
quando
se aproxima de 0. As oscilações tornam impossível definir uma tangente única nesse ponto.
Passo 7
5. Comportamento Assimptótico: Se a função se aproxima de uma linha ou curva de uma maneira que impede a definição de uma derivada no ponto de interesse, ela não será diferenciável ali. Isso está relacionado ao comportamento extremo da função próximo ao ponto.
Resposta
Então, resumindo, uma função não é diferenciável em:
- Pontos de Descontinuidade: Onde a função não está ligada.
- Cantinhos ou Pontos Agudos: Onde a função muda abruptamente de direção.
- Tangentes Verticais: Onde a inclinação da função é infinita.
- Oscilações Infinitas: Onde a função oscila sem parar próximo ao ponto.
- Comportamentos Assimptóticos Extremes: Onde o comportamento da função impede a definição de uma derivada.
Essas situações ilustram os principais casos em que a diferenciabilidade de uma função falha.
Exercícios relacionados
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.
(EXTRA) Suponha que uma formiga se desloque do ponto
até o ponto
ao longo da curva
. Qual foi a distância percorrida pela formiga ao longo dessa trajetória? Justifique sua resposta.