Descreva as várias situações nas quais um limite pode não existir. Ilustre-as com figuras.

Passo 1

Então, a gente vai falar sobre limites que não existem. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites de funções. Para entender isso, vamos precisar saber o que é um limite e as diferentes maneiras como ele pode “falhar” em existir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. O limite de uma função em um ponto é o valor que a função se aproxima quando a variável independente se aproxima desse ponto. Mas às vezes, esse valor não existe. Vamos ver algumas situações comuns onde isso acontece.

Passo 3

A primeira situação é quando os limites laterais são diferentes. Isso significa que o valor que a função se aproxima pela esquerda do ponto é diferente do valor que ela se aproxima pela direita. Por exemplo, imagine uma função que, quando você se aproxima do ponto de interesse pela esquerda, chega perto de 2, mas pela direita chega perto de 5. Como esses valores são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 4

Outra situação é quando a função oscila muito perto do ponto. Um exemplo clássico é a função quando se aproxima de 0. Conforme fica mais próximo de 0, fica muito grande, fazendo com que o seno oscile entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico. Por isso, o limite não existe.

Passo 5

A terceira situação ocorre quando a função tende ao infinito ou menos infinito perto do ponto. Por exemplo, considere a função quando se aproxima de 0. Se vem de valores positivos, cresce sem limite (vai para ), e se vem de valores negativos, decresce sem limite (vai para ). Como não há um número real que a função esteja se aproximando, o limite não existe.

Passo 6

Além disso, pode acontecer de a função ter um “buraco” ou uma descontinuidade essencial no ponto. Por exemplo, se uma função tem uma assíntota vertical, onde ela “quebra” e não se aproxima de nenhum valor específico quando se aproxima desse ponto, o limite também não existe.

Resposta

Então, os limites não existem nas seguintes situações:
  1. Quando os limites laterais são diferentes.
  2. Quando a função oscila infinitamente perto do ponto.
  3. Quando a função tende ao infinito ou menos infinito.
  4. Quando há uma descontinuidade essencial ou um “buraco” na função.

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(d)
Defina a segunda derivada de . Se for a função de posição de uma partícula, como você pode interpretar a segunda derivada?

Ensolarado
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Enuncie cada uma das seguintes Propriedades dos Limites.
(e) Propriedade do Quociente
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(f) (h)